聚焦核心素养，构建生动课堂

曾敏

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学课程应倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，对培养学生良好的数学思维习惯、抽象能力及交流合作能力大有裨益，从而促进学生发展，提高学生数学核心素养。

截面问题是立体几何的典型问题。教学“正方体截面的形状”这节课时，教师利用正方体玻璃缸、水、量杯等实验工具开展数学探究活动，让学生在实验探究中以分组讨论的方式开展研究性学习。教师通过问题导向、合作探究、数学实验，引导学生逐步探究“正方体截面形状有哪些”和“正方体截面形状的特征”，加深对截面问题的理解，实现由“教”到“学”的转变，从而提升学生的核心素养。

教材分析

“正方体截面的形状”是北师大版高中数学必修2第1章“立体几何初步”中的课题学习内容。在教学中，我们希望学生通过“正方体截面的形状”的课题学习，体会到“如何获得知识，比关注得到别人给予的知识更重要”，体会到“问题是思考的结果，是深入思考的开始;数学学习不仅要提高解决别人提出问题的能力，还要保持永不满足的好奇心，大胆地发现问题、提出问题，养成问题意识和交流的习惯”，让学生在学会数学的同时，培养数学核心素养。

学情分析

学生已经学习了“立体几何初步”，对三维空间有初步的认识，对简单几何体的基本特性和直观图、三视图有基本了解。对空间的点、线、面的位置关系也有了一定的理解，并初步学会用数学语言来描述和论证某些位置关系（特别是平行和垂直关系）。对直观感知、操作确认、思辨论证和度量计算等方法有了一定的体验。有一定的空间想象能力，初步有了推理论证和运用图形语言进行交流的能力。

教学过程

一、创设情境，引入课题

教师播放视频：《舌尖上的中国》（如下图），学生观看视频。

师：从视频中我们能感受到中国饮食文化的色、香、味、形。厨师们用高超的厨艺给我们展示了南瓜、莲藕等食材的切面形状。其实，这些食材的切面可以看作数学中几何体的截面，那什么是截面呢？

师：用一个平面去截一个几何体，得到的平面图形叫作截面。换句话说，截面就是平面与几何体表面交线围成的封闭图形（含内部）。

……

【思考】在教学中，教师把数学知识和实际生活紧密联系在一起，让学生体会数学源于生活，能激发学生的学习兴趣。通过视频的展示，体现中国文化的博大精深，学生从中体验到生活中有各种各样几何体切面的形状，从而抽象出截面概念。截面是一个平面图形，它与几何体紧密相联，让学生体会研究本节课的必要性。

二、实验探究正方体截面的形状

师：根据截面的定义，正方体的截面实际就是平面和正方体的表面交线围成的封闭图形（含内部）。那正方体截面的形状有哪些呢？今天我们将通过实验来探究一下。

师：如何得到正方体的截面呢？像视频中用刀去截正方体？

生：不方便操作，很危险，也不能精确地反映截面。

师：那我们能找到一个东西替代刀的作用形成截面吗？

（学生相互讨论，有些同学说可以用水）

师：水无形又有形。水本身是无形的，但放入正方体玻璃缸就有形状了。平静的水面可以看作正方体的截面，通过调节水量和正方体的摆放方式，可以得到不同的截面形状。究竟有哪些形状？这个问题交给各组同学去体验和探究。

【思考】生活中得到截面的方式有很多，教师明确给定实验工具，引导学生感受用水的好处。

教师课前将学生分成4组，准备实验道具：水、带孔的玻璃缸、量杯，并强调分组要求。

每组学生转动玻璃缸，积极进行操作活动，验证自己的猜想。

生：正方体截面形状有三角形、四边形、五边形、六边形。

师：为什么截面会出现三角形、四边形、五边形、六边形呢？

（师生共同讨论，指出回归截面定义）

生：当截面是三角形时，说明这个平面与正方体的3个面产生了3条交线，从而得到三角形截面。

生：当截面是四边形时，说明这个平面与正方体的4个面产生了4条交线，从而得到四边形截面。

师：同理，大家可以解释五边形和六边形吗？

师：正方体的截面会出现七边形、八边形吗？

生：不可能，正方体最多有6个面，截面不可能有七边形、八边形。

【思考】教师通过观察想象提出猜想，学生动手操作进行验证、推理分析，让学生经历完整的数学探究活动过程。证明猜想的过程就是一个思维碰撞的过程，有利于学生发展分析问题、解决问题的能力。

三、实验探究正方体截面形状的特征

师：接下来我们对正方体的截面做进一步的探究，看看正方体截面会有哪些特征呢？当截面是三角形时，会出现哪些类别的三角形？请同学们继续探究。

（学生进行转动正方体玻璃模具演示活动，如下图）

生：锐角三角形。

师：很好，那有没有钝角三角形、直角三角形呢？

（学生进行操作、观察、演示活动）

生：不会出现钝角三角形、直角三角形。

（学生利用正方体玻璃缸进行转动操作活动，教师通过几何画板演示截面三角形的变化，从直观上感受只有锐角三角形，再用余弦定理证明猜想）

师：我们探究得到截面是三角形时，这个三角形一定是锐角三角形。接下来我们看看四边形截面又有什么特征呢？

（学生进行操作、观察、演示活动）

生：四边形截面可能是正方形、长方形、平行四边形、菱形、梯形。

（学生利用正方体玻璃缸进行转动操作活动，教师通过几何画板演示截面四边形的变化，從直观上感受平行四边形、梯形，继续探究截面四边形的特征）

师：这些四边形有什么共性呢？

生：一定有一组对边平行。

师：大家能解释下为什么会有这样的共性吗？

（学生分小组讨论，教师引导学生从截面的定义出发，四边形截面要和正方体6个面的4个面相交）

师：正方体6个面有什么位置关系？

生：3组平行。

师：6个面拿掉2个面，剩下4个面的位置关系如何？

生：一定有一组平面平行。

师：也就是截面四边形一定有一组对边平行，为什么？

生：由面面平行的性质可知，面面平行可推出交线与交线平行。

师：很好！四边形截面可以是平行四边形（两组对边分别平行），也可以是梯形（只有一组对边平行）。

师：刚刚有同学发现四边形截面中出现了等腰梯形，那有没有可能是直角梯形呢？

（学生利用正方体玻璃缸进行转动活动。有些同学说会出现，有些同学说不会，意见不统一。师生共同验证。证明方法一：利用线面垂直的判定和性质加以证明。证明方法二：补形、类比思想）

师：当截面是四边形时，我们可以探究到一定有一组对边平行。

师：通过前面三角形、四边形截面的研究，可以类比探究五边形截面和六边形截面的特征。

……

【思考】本教学环节是通过对正方体截面形状的进一步探究，引导学生经历观察、尝试、猜测、交流、推理、反思等思维过程，让学生体会数学基础知识、基本技能、数学思想方法和活动经验在探究活动中的应用，培养了学生逻辑推理、直观想象等数学素养。

四、应用拓展

在一个棱长为3的正方体内，给定3个点M、N、P（如图），若[MB1=1，NB=2，BP=2，]试一试，如何沿着这3个点作出一个截面？

师：请每个同学在学案上画一画，并把结果用直尺和彩笔画到道具上。看哪一组画得好、画得快，说明的理由更充分。

【思考】通过对截面问题的分析，加强学生对正方体截面形状特征的理解，培养了学生的反思习惯，促进了学生数学活动经验的积累。

五、课堂小结

师生共同归纳探究步骤：我们通过对正方体截面的探究，知道了对问题的探究一般要经过观察、发现、猜想、论证这几个过程。

师：同学们，实际上关于截面的问题，它的探索空间是广泛的，今天我们只是探究了正方体截面的形状。其实对正方体截面形状的探究也为以后类比学习平面与圆锥、圆柱等几何体的截面奠定了基础。

教师播放视频，展示正方体、圆柱、圆锥等几何体的截面形状。

师：我们用4句话来概括今天所学的内容。

正方体截面铭

水面平静截面清，

三四五六形狀明。

正五直梯不可寻，

唯有锐角三角形。

通过本节展示课我们看到，教师教学语言简洁准确，课堂教学重点突出，教学设计逻辑清晰，具有创新性，教学目标、重点与难点定位准确，展现了教师良好的数学专业素养。特别是在课堂教学引入、教学过程设计、教学内容处理及教学资源运用等方面都颇具特色。

1.取材新颖，渗透文化。这是一节数学实验活动探究课，在整节课的教学设计中体现了数学来源于生活又服务生活的中心思想。通过《舌尖上的中国》视频引入课题，把生活中鲜活的素材引入课堂教学中，赋予了课堂新的活力，具有广泛的人文价值。

2.引导学生合作探究，培养学生独立思考、积极探索的习惯。新课标倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习方式。本节课教师在不同教学环节都用心设计问题，引导学生动手实践、自主探索、合作交流，如引导学生探索正方体的四边形截面特征等，培养学生独立思考、积极探索的习惯，体验获取知识的过程。

3.妙问诱导，关注学生思维训练。课堂教学中许多看似不经意的启发性问题，适时地打破原有平衡，引领学生寻找新的平衡点，不显山不露水地揭示了问题的本质，收到了润物细无声的教学效果，加深了学生对问题的理解。

4.充分运用信息技术平台，提升课堂教学效率。在教学中，教师重视运用多媒体课件、几何画板、实物展台等辅助手段，把文字、声音、图像、动画等多种信息高效地传递给学生，极大地丰富了教学信息，化难为易，化抽象为具体，化枯燥为生动，激发了学生的学习兴趣，提升了课堂教学效率。

（作者单位：江西师范大学附属中学）