平面向量高考重点题型及解题策略研究

■徐燕云 金巨明

归纳近几年的高考试题可知,高考中涉及平面向量的题型主要有知识交汇、解法多样的特点,重点考查考生的思维能力与创新能力。因此,同学们在复习时应以平面向量的内容为侧重点,结合历年高考真题,了解高考的命题方向,加深对相关知识的印象,熟练掌握不同题型所适用的解题策略,保证解题能力能够得到快速提高。

1.平面向量的交汇问题

平面向量与解析几何的交汇是高考命题的一个热点,这是因为向量和解析几何融形数于一体,具有几何形式与代数形式的“双重身份”。平面向量作为一个运算工具,在历年的高考题中,经常与函数、数列、不等式、三角和解析几何等内容相结合。

例1已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x=8,P为该平面上一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,且

(1)求动点P的轨迹方程。

(2)若EF为 圆N：x2+(y-1)2=1 的任一条直径,求的最值。

解：(1)根据平面向量数量积的运算性质,得设P(x,y),则Q(8,y),所以[4(x-2)2+y2]=(x-8)2,化简得3x2+4y2=48,所以点P的轨迹方程为

(2)因为EF为圆N的直径,所以|NE|=|NF|=1,且所以因为(y-1)2-1=(y+3)2+19,y∈,所以当的最小值为12-4 3;当y=-3 时的最大值为19。

点评：解析几何的核心思想就是利用代数方法解决几何问题,将向量条件的几何形式转化为坐标形式,将数学中的“形”与“数”完美结合。该题就是利用向量垂直、模、数量积公式将问题转化为解析几何问题。

2.平面向量的最值问题

求平面向量最值的方法主要有几何法、基底法、坐标法、三角不等式法和极化恒等式法,命题主要立足于教材,适当变形,适度整合,拓展提升,同时渗透这些思想方法,同学们就能形成“向量思想”,能够在解决实际问题时合理、有效、快速地将问题进行化归转化,迅速找到思维的突破口,形成有效的解题思路。

例2已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最小值是( )。

解法1(极化恒等式法)：设BC的中点为H,AH的中点为结合极化恒等式的概念可知,选B。

解法2(数量积不等式法)：设BC的中点为,当且仅当反向时,等号成立。设则选B。

点评：在解答求最值的问题时,较为常见的方法为几何法,就是利用其向量的几何本质,将外在的代数关系通过模型构造转化为熟悉的几何图形。利用数形结合的方法,避免了复杂的运算过程,既直观又形象,达到了事半功倍的效果。运用极化恒等式的三角形模型时,需要先找到合适的中点和路线,然后才能写出极化恒等式。