导数隐零点的常规解题方法

函数的零点与函数的单调性、极值、最值及函数的图像密切相关,因其蕴含的函数与方程、等价转化的数学思想而备受命题人的青睐,成为高考考查的重点和热点。而对隐零点问题的考查也经常出现在各类联考中。因此同学们需要掌握隐零点问题的两种常规题型的解题方法。

题型一：特值试根,借助二次求导加以验证

例1已知f(x)=,求f(x)的单调区间。

解：依题意有x＞0 且且f'(1)=0。令g(x)=所以g(x)在定义域上单调递增,且g(1)=0。所以当时,g(x)＜0,即f'(x)＜0,f(x)单调递减;当x∈(1,+ ∞)时,g(x)＞0,即f'(x)＞0,f(x)单调递增。

我们知道f'(x)的变号零点是f(x)的极值点和单调区间的端点,故解决此类型题的两个关键步骤为：步骤一,由f'(x)=0得,试根x=1;步骤二,构造函数二次求导得到g(x)的单调性(此时g(x)必须具有严格的单调性),说明g(x)的图像与x轴有唯一交点,从而可以判定g(x)即f'(x)的正、负,进而得到f(x)的单调性等。

题型二：设而不求,借助零点存在性定理加以说明

例2已知函数f(x)=(kx-1)exk(x-1)。若存在x∈R,使得f(x)＜0 成立,求整数k的最大值。

解：由f(x)＜0得k(xex-x+1)＜ex,即k[x(ex-1)+1]＜ex(⊗)。当x≥0,ex≥1,ex-1≥0,x(ex-1)+1＞0;当x＜0,ex＜1,ex-1＜0,x(ex-1)+1＞0。所以当x∈R时,总有x(ex-1)+1＞0。当k≤0 时(⊗)式恒成立;当k＞0,令φ(x)=ex-2+x,φ'(x)=ex+1＞0,所 以φ(x)为R 上的增函数。

又φ(0)=-1＜0,φ(1)=e-1＞0,所以∃x0∈(0,1)使φ(x0)=0,即ex0=2-x0(*)。当x∈(- ∞,x0),φ(x)＜0,即g'(x)＜0,g(x)单调递减;当x∈(x0,+∞),φ(x)＞0,即g'(x)＞0,g(x)单调递增。所以g(x)min=g(x0)=令2-x0=t∈(1,2)所以0＜又k∈Z,所以0＜k≤1。

综上可得k≤1,故k的最大值为1。

题型二有两类：

(1)根据单调性确定极值点的个数。解题的两个关键步骤为：步骤一,因g'(x)的零点不可求,需二次求导判断g'(x)的单调性(此时g'(x)必须具有严格的单调性);步骤二,设g'(x)=0 的根为x0,试值找到区间(a,b),使x0∈(a,b),且g'(a)g'(b)＜0,进而可得g(x)的单调区间及极值点的情况。

(2)求极值、最值的取值范围。解题的三个关键步骤为：步骤一,同类型一的步骤一;步骤二,由g'(x)=0得到关于x0的等式,即为(*)式,然后同类型一的步骤二;步骤三,在求极值或最值范围时,要根据(*)式进行恰当的等量替换,从而得到我们所熟悉的求函数值域的模型,使问题得以解决。