新课程标准下高中数学解题思想架构的思路

在新课程标准下,同学们要重视数学解题思想的架构,并结合自己的实际情况,确定有效的解题思路,以促使自身数学思维的形成。

一、数形结合思想

例如：直线l的方程为椭圆的中心为点,焦点在x轴上,其长半轴和短半轴分别为2,1,左顶点为,分析p的具体取值范围,使得椭圆上有四个不同的点,它们中的每一个点到B的距离等于该点到直线l的距离。

在解答该题时,可以基于抛物线的含义来分析,思考“在p的数值为多少时,以B为焦点、l为准线的抛物线和椭圆的交点为四个”。具体解决步骤如下：

已知a=2,b=1,,设抛物线和椭圆的方程分别为y2= 2px,将y消掉,得x2+抛物线与椭圆有四个交点,等价于上述关于x的一元二次方程有两个相异的正根,其充要条件为在p＞0 的条件下,解此不等式组,得,故所求的p的范围为

数形结合思想能将抽象的数学知识和直观的图像相结合,如代数问题体现几何化,几何问题转变为代数问题,都能为数学问题的解决提供有效方法。

二、分类探讨思想

例如：体育教师在3个箱子中分别放入9个相同的足球,其编号分别为1,2,3,…,9,求在每个箱子中放入的个数多于编号时,不同的放球方法。

首先,将2号盒子中放入1个球,将2个小球放入到3号盒子中,剩下的6个小球排列为○○○○○○,在这6个小球的5个空位中,可以插入2个挡板,其排列为○○|○○|○,每个放法都为一种方法,其放法共有C25=10(种)。

分类讨论思想的主要表现是化整为零。在实际解题中,通过对该思想的使用,能予以对象和全体范围的思考,确立出分类的标准,实现分级探讨,也能获得有效结果。

三、函数方程思想

例如：设a＞0,a≠1,已知方程loga(x-),分析实数k的取值范围。

解答该题时可以通过换底公式换底,当出现同底后实现等价转换获得方程。根据分离参数分析式子,基于三角换元法分析出三角函数的值域。原方程化为loga(x-ak)=①x-ak＞0;②x-ak=所以,则k=f(θ)=cscθ-时,得出f(θ)=,所以k＜-1。当时,得出f(θ)=cscθ-cotθ=,所以0＜k＜1。

函数方程思想是基于函数的概念和函数的性质来分析问题的,在用于解答问题时,大家要明确数量关系,利用数学语言来转换条件,促使数学模型的形成,如方程、不等式等,最终实现对问题的充分解决。