设计优质问题 促进深度反思——以指导高中生有效开展数学反思性学习为例

北京市第十七中学 白雪峰

中外教育家都非常重视启发式教 学。在中国，孔子提出“不愤不启、不悱不发”的著名教学思想，成为“启发”一词的来源。《学记》提出“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”，这是对孔子“启发式”教学思想的再发展，阐明在学生学习过程中教师应该发挥的引导、激励和点拨作用。在西方，苏格拉底的“产婆术”强调教师要用“问答方式”来激发和引导学生自己去探求真知和寻求答案，“一个坏的教师奉送真理，一个好的教师则教人发现真理”是他的名言。我认为：启发式教学是落实数学核心素养培养的重要方式，在贯彻落实这种育人思想的过程中，特别需要遵循反思性教学原则，以发挥促进学生学会学习数学的作用。

一、反思学习过程的过程与方法

现代认知心理学认为：反思是一种复杂的内部认知过程，它包括对自己认知过程的认知，即元认知。涂荣豹指出：反思性数学学习顾名思义就是通过对数学学习活动过程的反思来进行数学学习，也就是学习者要对自身数学学习活动的过程以及活动过程中所涉及的有关材料、信息、思维、结果等学习内容进行反向思考。这是一种有效的学习方式。

在日常数学的概念定理、公式法则、解题练习、问题解决等学习活动中，教师要有意识地引导学生对学习过程进行认真回顾，总结归纳学习过程中所运用的基本方法、解决问题的主要手段以及蕴含其中的数学思想和数学观念等。例如，在解题学习之初，教师可以提出下面的问题以唤起学生对以往解题经验的深度思考和提炼概括。

问题1：解题是数学学习的重要组成部分，请回顾你多年数学学习的经历，对于数学解题你有哪些经验，请你举例说明并总结梳理出两条和大家分享；

问题2：如果请你对于一般的数学解题过程进行总结概括，你认为解决数学问题一般需要几个阶段（步骤）？

再如，在解题学习之后教师还可以再提出下面的问题，以引导学生对在新的解题过程中所获得的内在经验进行反思和概括，并与原有基本解题活动经验进行融会贯通。

问题3：请思考本节课的研究过程，你获得了哪些研究平面几何解析问题的有效经验？请提炼出一两条和大家分享。

问题4：请你说说对“波利亚解题表”的独到理解，你将在今后的解题学习中如何自觉运用这一解题表？请说说你的想法。

上述问题有利于学生梳理问题解决过程的有效经验，促进他们重构自己的学习理解，激活个人的学习潜能，并在活动所涉及的各个方面相互作用的情况下，产生超越仅仅获得一般知识与技能的范畴，使学生的高阶数学思维得到发展。

二、反思学习过程的顺境与障碍

学习过程不会是一帆风顺的。学生在某个数学概念、定理、公式或法则等内容（特别是一些核心概念）的学习过程中，有时会感觉挺顺利，自信心倍增，而有时又会感觉老师怎么讲都听不明白，好似有条鸿沟难以逾越。在课堂这个集体学习过程中，教师要允许每个学生有不同的表现，通过营造安全和谐的学习氛围，提高学生的归属感，使每个学习者都能以更加饱满的状态积极参与到学习研究中来，一起面对困难和挑战。

（一）寻找形成学习障碍的内因

在反思性数学学习中，除了有“归纳概括类型”的反思，还有“查漏补缺类型”的反思。例如：对于学习目的不同、学习能力有限、学习水平差异显著且个性千差万别的学生，他们在同一数学内容的学习过程中会呈现出不同的状态、不同的层次、产生不同的问题。那么如何指导他们探寻学习障碍形成的内在而真实的原因呢？这就需要教师肯于慢下来，舍得花时间，善于利用新知学习中的挑战与契机，通过问题驱动学生主动对数学学习过程中遇到的困难进行深度内省，以帮助学生学会准确找到自己在学习这个内容时的具体障碍点。

问题5：请大家全面回顾新知识学习过程（如概念的抽象、定理的证 明、公式的探究、法则的提炼等过程），你认为哪一部分理解得最透彻，哪一部分最难理解？为什么？

问题6：如果某个同学不能理解上述学习内容，你想通过怎样的讲解或举例来帮助他（她）迈过这个“难关”呢？请分享你的学习经验。

上述问题鼓励沟通与交流，支持通过团队合作来解决问题，不仅有利于“学困生”突破学习难点，克服自身的学习困难，更有利于优秀学生变“为学而学”为“为教而学”，通过智慧分享过程使优秀学生对知识形成更加深刻而准确的理解，其有效的学习方法和有益的学习经验也得以效益最优化。

（二）克服学习过程出现的失误

课堂学习的过程是学生主体与课堂环境之间相互作用的过程，是各种学习资源不断循环转化的过程，更是一种信息输入和输出的复杂过程。数学课堂学习是培养学生良好思维品质、发展学生理性精神的重要途径。这个过程常常伴随着学生误区的形成和错误的产生。但是，误区和错误决不仅仅是一种循环和反馈，它代表了学生信息交换过程中自然呈现出来的多种表现，既是教师调整改进教学的契机，更是一种宝贵的学习资源。

那么，如何才能“变废为宝”呢？这就需要教师具有善于发现误区、利用错误因势利导的实践智慧，善于引导学生探究错误中隐藏的问题，从问题中找准出错的内因。通过有效利用学生数学学习过程中的错误资源，激发学习兴趣，引导积极思考，促进学生批判性思维、审辨式思维的优化和发展，让错误成为学生数学学习过程中思维交互碰撞的载体，成为学生持续成长的动力之源。例如：在发现了学生问题回答、习题解答中的错误时，教师要学会延迟评价，提出下面的问题以引导学生重新思考和审视答案，锻炼发现错误的“慧眼”。

问题7：请你把语速放慢一点儿，再把刚才的回答重新讲一遍，也请其他同学认真倾听，看看他的回答中是否存在错误？如果有，错误是什么？如何修正？这个错误的本质是什么？

问题8：请你把答案再重新审视（或检查）一遍，看看能否发现其中的问题？并思考一下问题产生的原因是什么？今后，若遇到同类问题，解答过程中应该如何避免呢？

上述问题不仅有利于“犯错”的学生调整情绪，放松心态，通过自我纠正消除错误认知，形成正确的逻辑体系，以提高自主检视与核查的能力。同时，也有利于增强学生之间的思维互动，构建“对话与思辨”的课堂文化，创建和谐生动的学习生态。

三、反思适合数学学科的学习方式

对于大多数人而言，学习可谓是我们“最熟悉的陌生人”。熟悉是因为我们每个人从出生一直与学习相伴，陌生则是因为我们常常不得要领而在学习中迷茫甚至碰壁。因此，教师的职责之一就是要引导学生找到适合数学学科的学习方式，促进在学习中领悟精要，学会学习。同时，促进他们不断提升热爱数学学习的志趣，始终秉持终身学习的态度。在数学学习中，更需要学生熟练掌握并灵活运用适切的学习方法（或方式），提高数学学习的效能感。

例如：在学完了“平面向量的线性运算”之后，教师就要通过问题或任务，指导学生对向量运算学习过程进行整体回顾和深度反思，梳理适合这个内容有效的学习方式。

问题9：类比实数的运算，请你采用表格（结构图或思维导图）的形式，通过三种数学语言梳理平面向量的加、减和数乘三种运算，比较三种运算的运算律，说明平面向量的线性运算的特点，并选择典型例题来说明这种特点在解决相关问题时所发挥的作用。

问题10：上述类比（对比）学习的方式有什么特点？在以往哪些知识的学习过程中还曾运用？请举例说明。

再如：在学习“平面向量的数量积”的运算法则时，教师可以设计下面的问题：

问题11 ：请你说出平面向量的数量积的物理背景，并利用一般化的数学语言概括表达平面向量的数量积的计算公式。

问题12：回顾平面向量的几种运算，请你说明向量的数量积与向量的线性运算有什么差异？并利用几何图形解释其几何意义。

纵观上述问题，可以看到：通过“归纳和类比”学习旨在帮助学生建立知识之间的联系，通过“一般化与特殊化”的协同学习，学生会对平面向量的运算及其运算律形成一定的结构化认知，促进内涵式和实质性理解。上述支持启发性联想的问题不仅有利于学生深刻认识平面向量及其运算，帮助学生形成“正迁移”，并且通过问题10 和11 的回答，也有利于促进学生深化对归纳与类比（或对比）、一般化与特殊化这种学习方式的认识，这也恰是适合数学学科的学习方式。

正如荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔（Hans Freudenthal）指出的，“反思是数学活动的中心”。波利亚认为：学习数学和研究数学最令人感到困惑也是最引人入胜的环节之一，就是如何发现定理和怎样证明定理。数学学科具有数学抽象的特殊性、数学思维的严谨性、数学过程的探究性以及数学语言的简洁性等特性，对于学生来说，学习数学不仅要关注数学内容本身，也要从数学以外的有关知识和实践中获得启发。 我认为：作为数学教师，必须善于指导学生在数学学习过程中牢固掌握和坚持运用反思性学习，通过有思维空间、有一定启发性和挑战性的优质问题，促进学生有效开展反思性数学学习，支持学生领悟和洞察数学活动的本质特征。