类比思想在高中数学中的“源”与“流”

【摘 要】类比是数学研究的重要思想方法，通过同类事物的比较，认识它们之间的共性，从而由一类事物的性质类比出另一类事物的某一性质。在高中数学教学中，教师使用类比方法使学生能更好地理解新旧知识的联系和区别，从而形成完整的知识脉络。教师由向量入手，将圆内的结论类比到椭圆中并进行探究、证明和应用，使学生能用类比的方法探索和研究数学问题，提升其数学核心素养。

【关键词】向量;类比;椭圆;核心素养

【作者简介】王斌瑜，一级教师。

数学教学如何在新形势下落实素质教育，从而提升学生的数学核心素养是一线教师普遍关注的问题。《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“课标”）要求数学教学要促进学生思维能力、实践能力和创新意识的发展，探寻事物变化规律，增强社会责任感，并为学生的可持续发展和终身学习创造条件。这就要求教师要以学生认知发展与学习规律为基础，认真研读教材、把握教材、剖析教材，教学既要突出数学主线，又要把握其内在逻辑和思想方法。为此，笔者以“两角差的余弦”为例，对如何借助向量将圆内的结论类比到椭圆中进行探究、证明和应用。

一、提出问题

笔者在执教苏教版高中数学必修4 “两角和与差的余弦”时，注意到在推导两角差的余弦公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ时，是通过构造单位圆并结合向量夹角公式推导出来的。这里不仅将前后所学知识紧密地结合起来，还提供了代数与几何沟通的桥梁，从而促使笔者对后续的学习内容——探究圆锥曲线问题引发了思考。

引例 将单位圆的半径一般化并设其为r（r>0），圆上任意两点P，Q与坐标原点围成的△OPQ的面积能否利用向量并结合夹角公式使其用P（x1，y1），Q（x2，y2）的坐标表示？

由于△OPQ三个顶点的坐标已确定，因此我们可以用坐标来表示其面积。其本质就是将几何问题代数化，这是解析几何的核心思想。

问题1 如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的标准方程为x24+y2=1，过原点O作两条射线l1和l2分别交椭圆于点P和点Q，得到的△OPQ面积记为S。設P（x1，y1），Q（x2，y2），求证：S=12x1y2-x2y1。

证明思路：S=12OP·OQsin∠POQ

=12OP·OQ1-cos2∠POQ

=12 OP2·OQ2-OP·OQ2

=12 （x12+y12）（x22+y22）-（x1x2+y1y2）2

=12x1y2-x2y1。

以上结论实际上就是任意含原点三角形面积公式的坐标表示。

问题1的证明虽然并不仅此一种方法，但是若由圆入手进而将此类含原点三角形的面积公式坐标化，这不仅让学生掌握了处理此类问题的方法，还能让学生加深对数学知识的理解，感受数学的美。以下是笔者基于类比的应用研究。

二、基于类比的应用研究

逻辑推理是课标指出的数学学科核心素养之一，而类比是逻辑推理的一种重要表现形式。类比作为一种逻辑推理，被广泛应用于数学教学中。教师使用类比创设情境能提高学生的学习兴趣，使学生主动融入问题并积极思考。教师通过对新旧知识的分析，帮助学生找出知识间的共同点、相似点和不同点，进而根据旧知识的已有认知去探寻新知识并做出猜想，让学生能更好地接受新知识并有效巩固已有知识[1] 。

类比对提高学生的数学核心素养具有重要作用。一方面，类比不仅可以帮助学生更好地理解和区别概念、图形等（例如圆和椭圆在图形以及解析式上具有高度的相似性），还可以帮助学生强化对公式、定理、性质等的统一理解（如圆的面积公式πr2和椭圆的面积公式πab）;另一方面，类比可以帮助学生开阔解题思路，形成独立分析问题和解决问题的能力。为使学生更好地掌握新知识，教师需从已有的知识和经验出发，在构建知识认知体系中，通过类比整体性解决问题，使学生轻松掌握新的数学知识和方法，并在探索中培养学生的创新思维能力，提高数学学习的效率[2] 。

（一）类比的方法

在数学学习中，很多的概念、公式等具有相似性，那么如何类比，类比的方法有哪些？下文以圆和椭圆为例进行研究。

对于圆中命题1“圆内两条互相垂直的直径与圆相交所得四个点围成的四边形面积为定值2r2”，学生在将此命题类比到椭圆中时，往往会很自然地得到命题1′“椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）内过原点的两条互相垂直的直线与椭圆相交所得四个点围成的四边形面积为定值2ab”，但经过验证后，发现该命题为假命题。因此，类比的结论只是一种猜想，它可能是真命题，也可能是假命题，需要我们去判断、证明其真假，但不能忽视其发现的功能。正如数学家波利亚所说：“如果把类比猜想的结论的似真性当作肯定性，那将是愚蠢的。但是忽视这种似真性的猜想更为愚蠢。”

命题1′为假命题，此时我们需要反思类比推理的过程。将命题1中“圆内两条互相垂直的直径”类比到命题1′“椭圆内过原点的两条互相垂直的直线”似乎在情理之中。类似地，将“圆内直径所对的角为直角”类比到“椭圆内过原点的弦所对的角为直角”，发现这是一个假命题。当我们进一步探究这两个具有类似形状的模型图时，由两条弦的斜率入手，得到命题2“圆的直径AB与该圆上任意一点P连线的斜率（存在）之积为-1”。若将该命题修正为“圆的直径AB与该圆上任意一点P连线的斜率（存在）之积为-r2r2=-1”，再类比到椭圆中得命题2′“椭圆内过原点的弦AB与该椭圆上任意一点P连线的斜率（存在）之积为-b2a2”就显得合理且易证为真命题。实际上，我们有时候也将命题2′称为椭圆的第三定义。由此不难发现，我们还可以将命题1修正后类比到命题1″“椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）内过原点的两条斜率存在且积为-b2a2的直线与椭圆相交所得四个点围成的四边形面积为定值2ab”，发现该命题为真命题，证明过程参见下文的问题2。当然，教师在教学中还可以继续引导学生思考：为什么命题1′错误而命题1″正确？

由此可见，类比最好从两类事物显而易见的共性，如基本公式和性质入手，然后逐步探究分析两者之间更深层次的联系。当然，如果通过类比得出的结论是错误的也没关系，首先我们需要反思类比的过程，其次我们需要不断修正或者找出产生假命题的原因。不管结果如何，只要学生主动参与了类比、猜想、反思及证明的过程，就能不断提升学生认识问题、探究问题和解决问题的能力。

（二）类比的再生性

类比具有較强的再生性，可以产生新的猜想。正如数学家波利亚所说，类比是获得发现的伟大源泉。类比是一种从特殊到特殊的推理方法，其逻辑形式如下：A具有性质p1，p2，p3，…，pn;猜测类似于A的B具有类似性质p1′，p2′，p3′，…，pn′[3]。因此，我们可将圆内与垂直相关的性质类比到椭圆中，于是可得出以下结论均为真命题。

结论1：椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）内弦AB的中点与原点连线的斜率与该弦斜率（存在）之积为-b2a2。

结论2：椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一点与原点连线的斜率与该点处切线斜率（存在）之积为-b2a2。

学生有了从命题1′到命题1″的修正经验，就比较容易类比得到真命题中都应该有“斜率之积为-b2a2”的结论。以命题1″为例，教师引导学生研究“椭圆内过原点的两条直线的斜率之积为-b2a2”的意义，并将斜率之积代数化以坐标形式呈现为b2x1x2+a2y1y2=0，再用三角函数代换x1=acosα，x2=acosβ，y1=bsinα，y2=bsinβ，可知cos（α-β）=0，即α-β=π2，类似于圆内两条互相垂直的直径，这相当于逆向说明了其相通性。基于此，我们再通过类比得到以下结论。

结论3：椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上点A（x1，y1），B（x2，y2），则kOA·kOB=-b2a2x12+x22=a2，y12+y22=b2。

结论4：椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一点M，且OM=λOA+μOB，则kOA·kOB=-b2a2λ2+μ2=1。

结论3和结论4可由圆内两条互相垂直的直径类比得出。

综上分析发现，结论1至结论4的证明方法也是由圆内证明方法类比而来的。因此，我们发现类比的结果未必正确，还需要证明，但是很多证明的思想和方法其实就是一种类比。也就是说类比有时候是贯穿始终的，并不仅仅局限于猜想。

（三）类比的应用性

问题2（2015年上海高考数学理科卷） 已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A，B和C，D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S。（1）略;（2）设l1与l2的斜率之积为-12，求面积S的值。

解析：设A（x1，y1），C（x2，y2），由条件可知x1x2=-2y1y2，且有x12+2y12=1，x22+2y22=1，将x1x2=-2y1y2两边平方后，代入可知x12x22=4y12y22=（1-x12）（1-x22），化简得x12+x22=1。

所以S=4×12x1y2-x2y1=2（x1y2-x2y1）2

=2x12y22+x22y12-2x1x2y1y2

=2x12·1-x222+x22·1-x122+x12x22

=212（x12+x22）=2。

通过对椭圆方程及斜率之积的观察，发现这其实就是从命题1′到命题1″的类比结论，因此将面积代数化计算即可。若我们将问题2向纵深研究还可以发现，此类四边形为椭圆内面积最大的内接四边形，从而形成“再发现”。若再结合逆命题思考又可以产生新的猜想（此处不详细展开），让学生感受数学的魅力。

问题3 如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为22。A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足OP=2AO。设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且BP=mBC，若直线OA，OB的斜率之积为-12，求实数m的值。

解析：从椭圆的离心率和直线OA，OB的斜率之积关系入手，发现本题符合结论4的结构。但本题在此基础上引入向量，需要学生发现并回归模型，利用结论4并结合向量易得4m2+（m-1）2m2=1，解得m=52。

本题图形较复杂、条件繁多，解题的“题眼”隐藏在“离心率为22”和“直线OA，OB的斜率之积为-12”的关系中，若从前面的问题1到问题2，再到问题3，我们发现它们有个共同的特征：原点引出两条弦且其斜率之积为定值-b2a2，然后猜测并产生新的命题进而应用于解题。经过探究证明发现，可将其视为圆中两条互相垂直的直径，那么这样对上文的结论就会有一个更加清晰的认识，甚至可将其推广到更一般性的结论。至此，我们应该对“圆内两条互相垂直的直径”和“椭圆内过原点的两直线斜率（存在）之积为-b2a2”类似的结论有了更全面的认识和理解。当然，不仅从圆到椭圆的类比中有很多有用的结论，在其他的知识中，类比也是很好的手段。正如开普勒所说：“我重视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，尤其是在几何学中。” [4]

三、结语

课标指出，要培养学生探究事物的变化规律，促进其终身可持续发展。在培养学生核心素养的当下，盲目地刷题效果肯定不好。教师要使用类比等方法积极引导学生归纳、反思，将知识建立联系并形成体系，从而更好地掌握一系列问题的解决方法。教师在教学中适当地运用类比的思想能更好地调动学生的主观能动性，培养其独立思考、自主探究的能力，从而提高学生的数学核心素养。

参考文献：

[1]黄碧波.关于类比法在中学数学教学中的应用探究[J].读写算（教育教学研究），2014（7）：33-34.

[2]徐宏晖，沈红星.类比思想在初中数学教学中的应用[J].数学之友，2014（4）：23-25，27.

[3]何念如.类比法在中学数学教学中的应用[J].高等继续教育学报，2006（1）：13-15.

[4]魏树东.浅议类比法在中学数学教学中的应用[J].初中数学教与学，2019（20）：9-11.

（责任编辑：陆顺演）