例谈动点设立的技巧

■许小如(指导教师：徐 扬)

作者单位：浙江省天台中学2018级(14)班

由圆锥曲线上一个主动点而产生的相关问题的解决，都回避不了主动点的假设，如何设立这个主动点，这正是许多读者感到困难的一点。

例题已知直线x-2y+2=0经过椭圆C：(a＞b＞0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：分别交于M，N两点。

(Ⅰ)求椭圆C的方程。

(Ⅱ)求线段MN的长度的最小值。

解：(Ⅰ)椭圆C的方程为。

(Ⅱ)总体视角。若S点确定，则直线AS，BS，点M，N都也跟着确定。这需先找一个主动变量t，变化范围是清楚的，使得(变量)表示为主变量t的函数，然后求的最小值。

视角1：参数设置法——换元法。由于圆锥曲线既有普通方程，又有参数方程，所以设定坐标时可以只含有一个参数，参数设置法应该是首选的方法。

解法1：设点S的坐标为(2cosθ，sinθ)(θ∈(0，π))，则直线AS的方程为y=，得M，所以。设即3tsinθ+6cosθ=10，由题意得10，即。

所以线段MN的长度的最小值为，对应的点S为。

视角2：一般坐标(x，y)设置法——直接设置法。圆锥曲线的普通方程有其“普通性”，则其应用一定有“广泛性”。直接设置法的特点是设置(x，y)时简单，应要充分注意这个主动点所在曲线的性质——x与y的制约关系。

解法2：设点S(x0，y0)，，，且yM＞0，yN＜0，则。故，所以有，即。

视角3：在能决定点S的相近关系中设置方法——间接设置法。如果直线AS确定了，那么点S也就定了，这样，有时也对产生点S的“源头”进行设定。间接设置法的特点是运算量大，但思路自然，操作简单。不过，有时在“源头”中有多个“头”，这样就要选择一个适当、合理、清晰的条件设置。但有时这些“头”的地位是并列的，此时就要选其中的一个进行设置。

解法3：因为直线AS的斜率k显然存在，且k＞0，所以可设直线AS的方程为y=k(x+2)，得。由得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0，它的一个根为-2。

设S(x1，y1)，则得。又B(2，0)，得kBS=。

总结：这里我们共同探索了常用的三种方法，其中解法3的思路最优，解法2的思路最巧，解法1的思路最自然。