高中数学解题中构造法的应用措施

■尹 艳

作者单位：江苏省苏州市相城区望亭中学

构造法简单来讲主要指的是能够以题目结论、题干给出条件及自身性质特点，结合条件构造与之相符的数学形式。在数学解题中运用构造法主要是为了转变题目表现的未知条件成为已知量，从而提高同学们的数学解题效率。

一、运用于函数解题

在高中数学知识中，函数具有举足轻重的作用，同学们在学习相关知识时，不仅要掌握具体的解题技巧，还要具备符合自身学习情况的解题思想，这也是同学们解答数学问题的关键。尤其对于几何、代数类型数学题的解答，均要考虑到函数思想，通过运用构造函数简化原本繁杂的问题，从而培养同学们对该类问题的解答能力。

例1如果1，证明：x+y=0。

证明：构造函数(x∈R)，易证f(x)在R上是奇函数且单调递增。因为，所以lg1=0。所以f(x)=-f(y)，即f(x)=f(-y)。又因为f(x)属于增函数，所以x=-y，即x+y=0。

二、运用于方程解题

同学们在学习高中数学知识的过程中，可以发现方程密切联系函数，均是以题型为依据给出数量、结构特征关系。解题时可以运用构造法组成一个或多个等量公式，这样一来便可以将原本复杂的问题更加简单化，可以有效提高同学们的解题质量及解题速度。

例2已知a，b，c均为实数，满足条件a=6-b，c2=ab-9，求证：a=b。

解析：由已知条件我们发现该题的解题突破口寻找难度较大，但是经过构造方程，则可以迅速找出解题思路。与已知条件相结合可得a+b=6，ab=c2+9，所以直观可见a，b与一元二次方程的两个根十分相似。所以结合已经掌握的韦达定理，构造方程t2-6t+(c2+9)=0。由于Δ=(-6)2-4(c2+9)≥0，可以得出36-4c2-36=-4c2≥0。据此可以得出c2≤0，结合题干中的已知条件c为实数，所以可以得出c2=0，证得a=b=3。

三、运用于向量解题

通过构造向量能够有效增加解题效率，尤其对于多不等式结构，譬如M1M2+N1N2，可以运用向量的数量积表示，变形原本不等式，从而提供新的不等式证明法。

例3在数列{an}中，已知a1=1，an+1=2an+1，求通项an。

解析：很显然，该数列{an}并非等差或者等比数列，所以不好通过等差或者等比数列公式来求。而所给出的条件可变形为an+1=2an+1，于是可构造出等比数列{an+1+1}，即可获得通项an。由于an+1=2an+1，因此an+1+1=2(an+1)，换言之就是说数列{an+1+1}为等比数列，首项为a1+1=1+1=2，公比为q=2。通过变形构造出一个等比数列，进而求得通项。

四、运用于数列解题

在高中数学诸多题目的解答过程中，证明不等式的数学题尤为多，通过使用构造法完成数列构造，可以找出较为高效的解题思路。

例4求方程的实数根个数。

解析：由于已知的等差中项为，因此可以设由两个式子的平方差得出，代入方程组中任意一个方程，得d2=1，因此d=±1，但是均无法满足都是非负数，因此原方程无实数解。