向量在高中数学解题中的运用探究

■周振欢

作者单位：广西防城港市北部湾高级中学

向量作为高中数学的重要内容，具有数形结合的特点，在许多数学问题的求解中有着妙用。强化向量在数学解题中的运用，不仅可以巩固同学们向量学习的效果，对同学们解题能力的培养，以及数学学习效果的系统性提升均有重要的意义。

一、向量在数列解题中的应用

向量与数列的融合是当前数列出题的新现象，命题者多将向量共线条件与数列性质结合起来，此时，同学们若利用向量共线条件，能够很快地求出答案。

例如，Sn为数列{an}的前n项和，已知an-an+1=d(d∈R)，其中，假设A，B，C均在同一条直线上，且不过点O(0，0)，试求出S200的值。本题从形式上看，属于典型的数列求和题，但按照一般数列求和的方法来计算，显然是不合适的，因为题目考查的主要内容是同学们对向量共线定理的掌握情况。在解题时要先利用向量共线定理求出首项及末项的和，再借助数列求和公式求出答案。

二、向量在三角函数解题中的应用

向量在三角函数解题中有着广泛的应用，而从近年来的高考出题趋势来看，借助三角函数来考查数量积、向量共线及垂直条件的题目越来越多。

例如，已知向量m=(cosθ，sinθ)，n=，且|m+n|=，求的值。解题时可以借助向量的坐标运算将其转化为三角函数。从推导出，因为，计算出，结合题目给出的条件θ∈(π，2π)，易知，可以得出0，开方处理后求出。

三、向量在几何解题中的应用

(1)平面几何中很多的证明、计算非常复杂，按一般解题思路来求解，步骤非常多，同学们犯错的概率也比较大。运用向量可以巧妙地将平面几何的问题转化为向量问题，再利用向量的计算法则来求解，极大地降低了求解的难度。

例如，已知某△ABC，其中AM∶AB=1∶3，AN∶AC=1∶4，CN和BN相交于点E，若AB=m，AC=n，且∠BAC=60°，则AE的长度为多少?从题目给出的条件，我们可以先设，如此，，问题的复杂性大为降低。

(2)向量在立体几何的解题中同样有着重要的应用价值。从出题的角度来看，当前的立体几何题目多以证明题为主，同学们需要借助公式、定理来证明。一般的做法是遵循转化思想，将立体几何求证的内容转化为平面几何，再进行处理。但在实际的操作中，很多题目转化后仍然非常复杂不易求解。对此，运用向量进行证明，往往能够收到意想不到的效果。

例如，某平行六面体ABCD-A′B′C′D′的底面为菱形ABCD，且∠C′CB=∠C′CD=∠BCD=60°，求证：C′C与BD垂直。同学们通常的做法是利用线面垂直来推导线线垂直，不仅费时费力，且容易求证错误。而运用向量能够极大地简化问题，，则|a|=|b|。因为，所以b·c-a·c=|b||c|cos60°-|a||c|cos60°=0，所以，即C′C⊥BD。