高中数学解题中变式训练应用研究

■蔡晓庆

作者单位：江苏省苏州市相城区望亭中学

变式训练就是通过构造变式，将题目中的条件或者结论进行转化，从而实现一题多练，有效锻炼同学们的思维能力，使同学们更加深刻地掌握数学知识，提高数学学习效率。下面具体分析变式训练在数学解题中的实际应用。

一、一题多变

1.改变表达方式，本质不变。

例1已知点M(-11，14)，N(-12，15)，若是存在一个点O(a，b)与点M，N构成的夹角∠MON恒为直角，求点O的轨迹方程。

变式训练1：若是过点M(-11，14)的直线l1和过点N(-12，15)的直线l2是垂直的，求垂足O的轨迹方程。

变式训练2：已知点M(-11，14)，N(-12，15)为两个定点，使动点O满足OM垂直于ON，求点O的轨迹方程。

分析：以上两道变式题的解答需要用到的数学知识点是一致的，但是在数学符号和表达方式上出现了变化，这也是非常常见的变式训练中的干扰项。同学们在解答题目的过程中，可以运用向量知识、圆的性质定理进行求解，并且将相关的数学知识关联起来，从而将数学知识有效融合。

2.透过问题看本质。

例2已知△ABC是等边三角形，过A点作一条直线和BC的中点M相交。求证：AM为∠BAC的角平分线。

变式训练3：已知等边三角形△ABC，过点A和BC的中点M作一条直线，求证：AM为BC的垂线。

分析：该题目考查的数学知识为等边三角形三线合一的性质定理。运用变式训练解决数学问题就是引导同学们运用等边三角形的性质去突破题目，从而明白求等边三角形的角平分线就是求解三角形的垂线或者中线，从而有效调动同学们的思维能力和应变能力，灵活运用数学知识解答数学问题。

二、一题多解

变式训练中，不仅是改变题目的已知条件或者结论，还可以是一题多解，这也是变式训练中常见的现象。

1.题设不变，改变问题。这种就是在改变问题的基础上，让同学们进行再解答。

例3在椭圆上存在一个点Q，使它与两个焦点M1，M2的连线相互垂直。当M1，M2与Q三点之间为钝角时，求点Q的横坐标的取值范围。

变式训练4：在椭圆上存在一个点Q，使之与椭圆的两个焦点M1，M2的连线相互垂直，求点M的横坐标的取值范围。

分析：本题是在原题的基础上进行拓展训练，进一步引导同学们运用数学知识分析和解决问题，从而提高数学逻辑推理能力，提高数学学习效率。

2.题干和问题表达同时发生变化。

例4已知圆O的轨迹方程为x2+y2=r2，求经过圆上点Q(x0，y0)的切线方程。

变式训练5：已知Q(x0，y0)为圆O：x2+y2=r2上的一点(异于圆心)，求直线x0x+y0y=r2和圆O的交点一共有几个?有什么几何意义?

变式训练6：已知点Q(x0，y0)在圆O：x2+y2=r2的外部，那么直线x0x+y0y=r2有什么几何意义?

分析：对题目进行变式训练，可以促使同学们从这些类似的题目中加强对数学知识的理解和运用，从而提高自身的应变能力，提高数学学习效率。

结束语：高中数学学习中应用变式训练解决数学问题，主要就是在题目上设置干扰因素，但是原题的实质性内容不会发生变化，在数学学习中，同学们要改变传统的解题思路，科学运用变式训练的方式解决数学问题，从而有效提高自身的综合素养。