探析方程和不等式的关联性——以一元二次方程和一元二次不等式为例

■钱志祥

作者单位：江苏省苏州市吴江区苏州湾实验初级中学

方程是指含有未知数的等式，不等式是指用不等号(“＞”“＜”“≥”“≤”)连接的式子，从数学表达方式来看，方程相当于不等式的一种特殊情况，因此方程和不等式问题具有一定的关联性，下面以一元二次方程和一元二次不等式为例进行分析。

一、一元二次方程和一元二次不等式的基本知识框架

1.一元二次方程的基本知识

一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)，判别式为Δ=b2-4ac。当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根。当Δ≥0时，求根公式为x=。

2.一元二次不等式的基本知识

一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c≠0，ax2+bx+c＜0，ax2+bx+c≥0，ax2+bx+c≤0(a≠0)。

小结：一元二次方程和一元二次不等式对应的函数解析式均为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，因此在求解一元二次方程和一元二次不等式时，都需要利用对应函数的图像是抛物线，且当a＞0时，抛物线的开口方向向上，当a＜0时，抛物线的开口方向向下等性质完成求解。

二、求解一元二次方程和一元二次不等式的方法

1.求解一元二次方程的四种常用方法

(1)公式法：确定方程ax2+bx+c=0(a≠0)中a、b、c的值，直接代入求根公式解得方程的根。该方法适用于解答任何一个有解的一元二次方程。

例1解方程18x2+20x+5=0。

解：因为a=18，b=20，c=5，所以b2-4ac=202-4×18×5=40＞0，所以x=，所以。

(2)直接开方法：当一元二次方程等号左边是一个数的平方形式，等号右边是常数项，即x2=m或(ax+b)2=m(m是已知数)的形式时，可以采用直接开平方法求得方程的根。

例2解方程(2x-1)2=48。

解：因为，所以2x=，所以。

(3)配方法：运用配方法时，需要先通过移项、合并同类型，把已知方程变换为一般形式；再把常数项移到等号右边；然后在方程两边都加上一次项系数一半的平方，写成完全平方的形式；利用直接开方法求得方程的根。

例3已知关于x的一元二次方程的解析式为x2-(m-3)x-m=0。

①求证：方程有两个不相等的实数根。

②如果方程的两个实根为x1、x2，且，求m的值。

解：①因为x2-(m-3)x-m=0，所以Δ=[-(m-3)]2-4×1×(-m)=m2-2m+9=(m-1)2+8＞0，所以关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根。

②因为方程x2-(m-3)x-m=0的两个实根为x1、x2，且，所以(x1+x2)2-3x1x=7，所以(m-3)2-3×(-m)=7，解得m1=1，m2=2。

点评：第①问的证明需运用一元二次方程的判别式公式；第②问的解答需要在厘清已知条件，构建出关于m的一元二次方程后，采用配方法求解。

(4)因式分解法：运用因式分解法时，需要先将已知一元二次方程等号右边转化为零，将等号左边通过提取因式转化成可以采用十字相乘法求得根的两项乘积的形式；再快速求得方程的根。

例4解方程(x-3)(x-5)=3。

解：将原方程转化为x2-8x+12=0，所以(x-2)(x-6)=0，所以x1=2，x2=6。

2.求解一元二次不等式的方法步骤

(1)转化标准式：把已知一元二次不等式转化为二次项系数大于零的标准式，注意若原不等式的二次项系数小于零，在转化时一定要注意变号。

(2)计算判别式和方程的根：计算对应于一元二次不等式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式Δ=b2-4ac，以及方程的两根x1、x2(x1＜x2)。

(3)求符合题意的解集：当Δ＞0时，不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集为{x︱x＜x1或x＞x2}，不等式ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集为{x︱x1＜x＜x2}；当Δ=0时，不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集为，不等式ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集为Ø；当Δ＜0 时，不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集为R，不等式ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集为Ø。

例5已知函数f(x)=(x-1)(px+q)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递减，则不等式f(x-3)＜0的解集为____。

解：因为f(x)=(x-1)(px+q)=px2+(q-p)x-q是偶函数，所以q-p=0，即p=q，则f(x)=px2-q。又因为f(x-3)=p(x-3)2-q＜0，函数f(x)在(0，+ ∞)上单调递减，所以p＜0，即(x-3)2-1＞0，解不等式得x＜2 或x＞4。所以不等式f(x-3)＜0的解集为{x︱x＜2或x＞4}。