具有恒Lyapunov指数谱的新鲁棒混沌系统及电路实验

万求真，陈思邈，黎 婷，周昭腾，谭宇星

(湖南师范大学信息科学与工程学院，中国 长沙 410081)

自1963年Lorenz发现第一个混沌吸引子以来[1]，混沌作为一种独特的非线性现象，其理论研究和实际应用得到了后人的极大关注，Lorenz系统成为学者们研究混沌理论的出发点和基石。早期被提出的混沌系统有Chen系统[2]、Lü系统[3]、Liu系统[4]和Qi[5]系统等。近年来各种新混沌系统，如分数阶系统[6]、多翼/多涡卷混沌系统[7,8]、超混沌系统[9,10]以及忆阻混沌系统[11,12]等亦不断被提出，促进了人们对混沌现象的研究和应用。然而，大多数混沌系统的混沌特性对于系统控制参数非常敏感，控制参数的小幅度变化或误差使得混沌系统的动力学特性发生变化，相应的系统轨迹将在不动点、周期态、拟周期态、混沌态以及超混沌态等不同的区域之间演变，这给混沌系统的实际应用带来困难。在一定数值范围变化时，为了使系统控制参数不会影响到系统本身的混沌特性，即系统具有好的鲁棒混沌特性，文献[13-15]提出了一类恒Lyapunov指数谱混沌系统，该系统的正Lyapunov指数值很小，这表明系统运动的随机特性较弱，不利于其在保密通信、混沌雷达和图像加密等领域[16]的广泛应用。

在传统Qi混沌系统的基础上，本文采用改变非线性项和增加控制参数两者相结合的方法构造出一种新鲁棒混沌系统，它具有恒Lyapunov指数谱和较大的正Lyapunov指数。该系统包含一个平方项和两个交叉乘积项，通过分析该系统各种类型的数值仿真图、Lyapunov指数和维数，研究了系统的动力学行为；并重点分析了系统的平衡点和系统在不同控制参数改变时的Lyapunov指数谱和分岔图。研究发现，通过调整部分控制参数的值，该系统能产生单参数恒Lyapunov指数谱特性的新双翼混沌吸引子；具体表现为，当b和c都大于0时，新混沌系统具有关于参数e的恒Lyapunov指数谱特性，新混沌吸引子具有较大的正Lyapunov指数且它会随参数a，b和c的增大而增大，系统的正Lyapunov指数可达18.054。另外，通过构造一种参数可调的偶对称多分段平方函数来替代平方项，该系统的新双翼混沌吸引子可实现多翅膀的扩展。最后设计了模拟硬件电路，实验观察新双翼混沌吸引子与数值仿真结果的一致性。

1 新混沌系统的基本分析

1.1 新混沌系统模型

提出的新鲁棒混沌系统的数学模型如下式所示。

(1)

上式中a，b，c，d，e均为实常数；x，y，z均为系统的状态变量。当a=10，b=1，c=1，d=5和e=5时，该混沌系统产生一种新双翼混沌吸引子，其相图如图1所示。可以看出，混沌吸引子的运动轨线始终局限在一个有确定边界的区域，具有复杂的折叠和拉伸轨线，此时混沌吸引子处于混沌状态。采用奇异值分解的方法可以计算出其正Lyapunov指数为7.219，通过与其它具有恒Lyapunov指数谱的传统混沌系统[13-15]相比，该系统具有明显增大的正Lyapunov指数。本文将对该混沌吸引子的混沌特性和动力学行为展开研究。

图1 新系统的混沌吸引子相图, (a) x-z平面, (b) y-z平面, (c) x-y平面Fig. 1 Phase portraits of new chaotic system,(a) the x-z plane, (b) the y-z plane, (c) the x-y plane

1.2 平衡点及其稳定性

当b和c均大于0时，令新混沌系统的数学模型(1)右边等于零，可得

(2)

联立方程组(2)中的第一和第二式，并消去变量x，y，可得

bdz2+(25ad-16bc)z+(-400ac-400)=0。

(3)

(4)

f(λ)=λ3+C2λ2+C1λ+C0。

(5)

其中：C2=15，C1=(12bdz02)/25+12adz0+54，C0=24bdz02+300adz0-192bcz0。因为特征值方程为：|λI-J|=0，对平衡点M0，采用数值仿真的方法求得3个特征根分别为：λ1=-70.985，λ2=-61.985，λ3=-6，λ3=-6，因此平衡点M0是一个不稳定的鞍点。采用相同的方法，平衡点μ1和μ2所对应的特征根分别为λ1=-22.632 2，λ2,3=3.816 1±48.489i，因此平衡点M1和M2为指标2的不稳定鞍焦点，它可以形成系统的双翼混沌吸引子。

1.3 Lyapunov指数和维数

Lyapunov指数是衡量系统动力学特性和判断系统是否存在混沌运动的重要依据，它表征了系统在相空间中相邻轨道间发散或收敛的平均指数率，同时正Lyapunov指数表示相邻点信息量的丢失，其值越大则说明系统的混沌程度越高。对于本文提出的新混沌系统，采用奇异值分解的方法可以计算出系统的3个Lyapunov指数分别为7.219，0.038和-22.249。另外当参数d和e的值不变，令a=50，b=50和c=20时，系统的3个Lyapunov指数分别为18.054，-0.626和-20.082。另一方面，混沌系统所特有的分形结构，使其具有分数维数的特征，它也是判断混沌运动的重要方法之一，计算三维自治混沌系统Lyapunov维数的公式为

(6)

通过计算，新混沌系统的Lyapunov维数为2.326。与现有的具有恒Lyapunov指数谱的传统三维混沌系统[13-15]相比，该新混沌系统具有明显增大的正Lyapunov指数和维数。

1.4 时域波形图和Poincare截面图

下面对新混沌系统的时域波形图和Poincare截面图进行分析。在新混沌系统中，其余值不变，初始值x0即使前后仅仅相差0.000 000 1，系统的波形也会在大约3s后出现与之前的结果完全不同的情况。在新系统中，输出信号x的时域波形图如图2(a)所示，实线代表所提系统的初始状态，虚线代表所提系统的初始值发生微小改变后的状态。另外，新混沌系统的动力学特性可以通过Poincare截面来观察，分别选取截面y=0和z=2.6，如图2(b)和2(c)所示，可以看出截面上吸引子的叶片清晰可见，这进一步表明所提系统为混沌系统。

图2 (a) 系统中x的时域波形图, (b) 系统中y=0的Poincare截面图, (c) 系统中z=2.6的Poincare截面图Fig. 2 (a)Time domain waveform at x of system; (b) Poincare mapping at y=0; (c) Poincare mapping at z=2.6

1.5 控制参数对新混沌系统性能的影响

在各个控制参数变化时，下面利用Lyapunov指数谱(LE谱)、分岔图和/或信号幅度变化曲线来直观地观察新混沌系统对应的状态变化情况。

对于新混沌系统，固定参数a=10，b=1，c=1，d=5，当e∈[0.1,50]时，系统的LE谱图、分岔图 (Poincare截面取为y=0时) 和信号幅度变化曲线如图3所示。图中Smax和Smin分别表示信号幅度变化过程中的最大值和最小值。当参数e变化时，所提系统的LE谱一直保持不变，并且分别维持在LE1=7.219，LE2=0.038，LE3=-22.249附近；系统的输出信号x，y的幅度随着e的增大而非线性减小，而z的幅度随着e的增大始终保持不变。

图3 参数e变化时系统的LE谱和信号幅度变化情况, a) LE谱图, b) z-e分岔图, c) 信号幅度变化曲线Fig. 3 Variation of system versus parameter e. (a) LE spectrum, (b) z-e bifurcation diagram, (c) signal amplitude curve

对于新混沌系统，固定参数b=1，c=1，d=5，e=5，当a∈[10,50]时，系统的LE谱图和分岔图(Poincare截面取为z=2.6时) 如图4所示，从图中可看出，a∈[25.2,26.1]时，最大LE为零，系统表现为周期运动；在a的其它变化区间，系统的最大LE指数都大于0，系统处于混沌状态，并且系统的正LE随着参数a的增大而近似线性增大。固定参数a=10，c=1，d=5，e=5，当b∈[0.1,50]时，系统的LE谱图和分岔图 (Poincare截面取为z=2.6时) 如图5所示，在参数b的宽范围变化区间内，系统的最大LE一直都大于0，同时系统正LE也随着参数b的增大而近似线性增大，系统一直处于混沌状态并且混沌特性不断增强。

图4 参数a变化时系统的LE谱和分岔图, (a) LE谱图, (b) x-a分岔图Fig. 4 Variation of system versus parameter a. (a) LE spectrum, (b) x-a bifurcation diagram

图5 参数b变化时系统的LE谱和分岔图, (a) LE谱图, (b) x-b分岔图Fig. 5 Variation of system versus parameter b. (a) LE spectrum, (b) x-b bifurcation diagram

固定参数a=10，b=1，d=5，e=5，当c∈[0.1,20]时，系统的LE谱图和分岔图 (Poincare截面取为y=0时) 如图6所示。当c∈[2.4,2.6]时，系统的LE中出现有一个LE等于0和两个LE小于0，系统处于周期运动状态，而在其余区间内系统一直保持混沌状态 (为了图示清晰，分岔图仅取了c∈[0.1,3] 区间)。固定参数a=10，b=1，c=1，e=5，当d∈[0.1,50]时，系统的LE谱图和分岔图 (Poincare截面取为y=0时) 如图7所示。从图中可知，在参数d初始变化阶段，系统的最大LE出现了一小段下降的区间，但随着参数d的继续增大，系统的LE谱基本维持不变，系统在整个参数区间内一直处于混沌状态。由上面分析可知，系统在关于控制参数a和c的大部分变化区间，以及b和d的整个变化区间内一直处于混沌状态，即系统具有很好的混沌鲁棒特性。由于鲁棒的稳定混沌系统受控制参数的扰动较弱，因此该类混沌信号具有很高的科学研究价值，可以用于图像加密、混沌雷达和保密通信等应用领域。

图6 参数c变化时系统的LE谱和分岔图,(a) LE谱图,(b) x-c分岔图Fig. 6 Variation of system versus parameter c. (a) LE spectrum, (b) x-c bifurcation diagram

图7 参数d变化时系统的LE谱和分岔图, (a) LE谱图, (b) x-d分岔图Fig. 7 Variation of system versus parameter d. (a) LE spectrum, (b) x-d bifurcation diagram

1.6 恒定LE谱及非线性调幅特性分析

从前面的分析可知，通过调整部分控制参数的值，新混沌系统能得到新双翼混沌吸引子，并且具有关于参数e的单参数恒LE谱特性。当参数e变化时，将系统的平衡点M0，M1和M2代入特征多项式(5)中，参数e会消除。具体为：将M0代入，得到C2=15，C1=54，C0=0；将M1或M2代入，得C2=15，C1=(12bdz12)/25+12adz1+54，C0=24bdz12+300adz1-192bcz1，其对应的特征值与e均无关。因此，参数e不影响该系统在各点处的动力学特性，当e变化时，系统始终具有恒LE谱。在所提混沌系统中，除参数e外，系统的其它控制参数都会改变系统的LE谱，特别是参数a，b和c发生变化时，系统的LE随着其增大而不断增大。

(7)

因此，系统输出信号x和y的幅度与参数e分别呈指数为-1/2和-1/2的幂函数关系变化，而输出信号z的幅值与参数e的变化无关，即参数e具有局部非线性调幅特性。

1.7 对新混沌系统进行多翅膀扩展

与大多数Lorenz混沌系统族类似，新混沌系统吸引子的翅膀也是围绕指标为2的不稳定鞍焦平衡点演化而形成，并且吸引子相图都是关于z轴对称，当进行(x，y，z)→(-x，-y，z)变换时，系统的方程仍保持不变。因此，系统的混沌吸引子可以演变为单/多方向扩展的多翅膀混沌吸引子。由于该系统的非线性动力学特性由两种交叉乘积项和一种平方项控制，本文通过将系统的平方项替换成一个新的参数可调的偶对称多分段二次函数f(y)，使其指标为2的鞍焦平衡点能在y方向上进行扩展。新的多翅膀混沌吸引子的方程表达式为

(8)

图8 系统的多翅膀混沌吸引子相图, (a) 6翅膀混沌吸引子, (b) 8翅膀混沌吸引子, (c) 10翅膀混沌吸引子Fig. 8 Multi-wing chaotic attractor of phase portraits, (a) 6 wing chaotic attractor, (b) 8 wing chaotic attractor, (c) 10 wing chaotic attractor

2 电路实验

新混沌系统的电路实验图如图9所示，该系统的状态变量x，y和z分别用三路模拟运算电路来实现。模拟乘法器(AD633)用来实现系统的非线性项，运算放大器(LM741)及其外围电路用来实现反相和积分运算等。图9中，直流电源电压设置为±15 V，乘法器AD633的容许电压仅为±10 V，运算放大器LM741的容许电压为±18 V，而系统的输出信号x的相图范围为±40，因此需要对所提混沌系统作时间尺度变换，令t=Τ0t，Τ0=100，可以得到下式，

(9)

再根据系统的电路图和相关电路理论，并考虑模拟乘法器的放大倍数为0.1，得到下式，

(10)

图9 电路实验原理图Fig. 9 Schematic diagram of new chaotic system

图10 新混沌系统的混沌吸引子的电路实验相图, (a) x-z平面图; (b) y-z平面图; (c) x-y平面图 Fig. 10 The experiment results of phase portraits for new chaotic system, (a) the x-z plane, (b) the y-z plane, (b) the x-y plane

3 结论

本文提出了一种具有恒Lyapunov指数谱和较大正Lyapunov指数的新鲁棒混沌系统。深入研究了所提系统的动力学行为，重点分析了系统的平衡点、恒LE谱和非线性调幅特性，同时对新双翼混沌吸引子进行了多翅膀扩展，最后进行了模拟电路实验，实验结果与数值仿真结果相一致，验证了所提系统的可行性。得到如下结论：

1) 新混沌系统具有复杂的混沌特性和动力学行为，产生的新双翼混沌吸引子具有单参数恒LE谱特性，含有一个局部非线性调幅参数，其形状有别于现有提出的混沌吸引子。

2) 新双翼混沌吸引子具有较大的正Lyapunov指数并且它会随参数a，b和c的增大而增大，其最大值可达18.054；同时在参数a，b和d的较大范围变化区间内，系统呈现出很好的鲁棒混沌状态。

3) 引入合适的非线性函数，可以将系统的双翼混沌吸引子扩展成为结构更加复杂的多翅膀混沌吸引子。

4) 新混沌系统可以用硬件电路来实现，它进一步拓展了恒Lyapunov指数谱混沌系统族，所提系统的混沌特性显示其在保密通信、混沌雷达和图像加密等领域具有潜在应用价值。