利用斜抛运动几何结论巧解极值问题

◇ 广东 李开玮

本文通过抛物线性质得到了一个关于斜抛运动的结论，并利用这个结论巧妙求解斜抛运动极值问题，体现了几何知识在物理中的妙用．

1 斜抛运动的几何结论

如图1所示，在距水平面高度为h的某处将一质点以速度v0斜抛出去，抛射角为θ，以抛出点为原点，建立水平竖直坐标系，质点的轨迹为抛物线，其参数方程为

图1

由式①②可得抛物线轨迹方程为

将式③转化为抛物线方程标准形式有

式④对应的标准形式为X2＝－2p Y．由式④可得抛物线顶点纵坐标为，常数p＝顶点到准线距离为，观察发现抛出点到准线距离为

2 斜抛运动极值问题

对于斜抛运动，有多种方法可求解:水平竖直运动分解、斜交分解法，以及前文的斜抛运动结论．接下来探讨两道典型的斜抛运动极值问题，利用前述多种方法分析对比．

例1如图1所示，小球距水平地面高度为h，将小球斜向上以抛射角α、速率v0抛出，求小球最大射程及此时的抛射角α．

解析

方法1（斜交分解法）将小球的运动分解为沿初速度方向的匀速运动和竖直向下初速度为0的自由落体运动，设小球落地速度为v1，则小球落地时速度斜交分解如图2所示，根据三角形正弦定理有

图2

对小球根据机械能守恒有

得

小球射程x＝v0cosα·t，结合式①②可得

方法2（利用斜抛运动结论求解）根据斜抛运线距离与落地点到准线距离之和为，根据抛物线几何性质，抛出点、落地点到抛物线焦点距离之和恒定且为．根据三角形原理，当焦点与抛出点、落地点共线时，抛出点与落地点连线距离最大，为两点到焦点距离之和，此时存在等式h，解得又根据抛物线几何性质，．过焦点一直线与抛物线相交于A、B两点，这两点处切线互相垂直，因此末速度方向垂直于初速度方向，由图2可得

例2如图3所示，倾角为θ的斜面，将一质点从底端以速率v0斜向上抛出去，求质点在斜面上的最远射程，及此时的抛射角α．

图3

解析

设质点落在斜面上时在斜面上产生的位移为L，利用斜抛运动结论可知，起点到抛物线准线距离为落点到抛物线准线距离为θ，因此两点到准线距离之和为．由抛物线几何性质知两点到抛物线焦点距离之和也为Lsinθ．根据三角形原理，两边之和大于第三边，当三点共线时取“＝”，故有，得L≤，此时焦点在斜面上．

根据抛物线几何性质，过焦点的弦的两端点处切线互相垂直，因此末速度方向垂直于初速度方向，设末速度为vt，则根据速度斜交分解法，由图2可知，同时根据机械能守恒有mg Lmaxsinθ，由以上两式可得

由上式可得