“数形结合”思想在高中数学不等式求解中的应用

一、数形结合思想概论

数学的起源就是古人研究的数形关系，数和形是数学研究的基本对象，其在某些条件下可以互相转换。在高中数学中，也是研究数形的关系，而数形结合就是数与形的关联。数形结合是一种数学思想，其有两种模式：一是使用数来阐述形的特点和属性，二是使用形来直观地表示数之间的关系。

在高中数学中运用数学思想的解题方法主要在三个方面。1.运用数形结合思想解决函数问题。2.运用数形结合方法解决不等式问题。3.运用数形结合解决平面几何问题。前两种都是用形来直观表示数之间关系的数形结合思想，第三种是使用数来阐述形的属性特点。

二、数形结合思想解决不等式问题

在不等式问题中运用数形结合来解答，可以避免复杂的分类讨论，简化题目，直接利用几何图形特点得出答案。

例题一：设有关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a，若此不等式无解，求a的取值范围。

解：设函数f(x)=|x-3|+|x-4|，函数g(x)=a，在平面直角坐标系中作出函数f(x)和g(x)的图像如下。

由函数f(x)和g(x)的图像特征可得要使|x-3|+|x-4|＜a无解，只有使函数f(x)=|x-3|+|x-4|在函数g(x)=a的上方，或使函数g(x)=1。

所以可得a的取值范围为(-∞，1]。

例题二：设函数f(x)=x2-2ax+2，并且x∈[-1，+∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围。

解：由f(x)≥a可得x2-2ax+2≥a即x2+2＞a(2x+1)。

设函数f(x)=x2+2，函数g(x)=a(2x+1)，作出函数f(x)和函数g(x)的图像：

由函数图像特征可得a的取值范围为图中直线斜率的取值范围。

即a∈(-3，1)。

三、数形结合思想解决平面解析几何问题

在高中数学中，平面解析几何知识是运用到数形结合思想最广泛的知识点，在直线斜率、直线与圆、直线与圆锥曲线等问题上，运用数形结合思想解题是最为简洁的。

例题一(直线斜率问题)：直线L过点P(-1，2)，且与点A(-2，-3)、B(4，0)为端点的线段AB相交，求直线L的斜率的取值范围。

在解这类题目时，先作出函数图形：

计算直线pa的斜率k(pa)=5，直线pb的斜率k(pb)=2/5。

由函数的图像特征可得k≥5 或k≤2/5。

例题二(直线与圆问题)：设圆O的方程为x+y-2x+4y+4=0，直线L的方程为3x-4y+9=0，求圆O上的点P到直线L上的最大距离为多少。

在解这类问题时，运用数形结合思想能使问题得到迅速解决：

将圆的方程配方可得(x-1)2+(y+2)2=1，由此可得圆心O为(1，-2)，半径r=1。

由直线与圆的图形特征可得：圆到直线的最大距离=圆心到直线的距离+半径。

圆心O到直线L的距离d=4，由上式可得直线L到圆O的最大距离为d+r=4+1=5。