微分方程教学设计之线性化思想的应用

摘要：线性化的思想被广泛用于微分方程的研究。通过从教科书中选择与微分方程有关的示例，将线性化思想应用于微分方程的精确求解过程，可以增强学生对线性化的理解，并激发学生对研究与微分方程相关内容的兴趣。

关键词：微分方程;教学设计;线性化思想;应用

一. 引言

求解微分方程（解析和数值解）的问题是微分方程研究的基本问题之一。目前，国内大学常用的教科书介绍了常微分方程的所有基本解，例如经典的分离变量法和积分元法。线性微分方程的解比非线性微分方程的解更加成熟，并且教科书中对线性微分方程的解的介绍相对全面，尤其是对于一阶线性微分方程的解。在课程中，学生可以学习求解许多简单类型微分方程，虽然得到了正确答案，但是事实证明他们仍然对方程本身以及它们之间的转换关系缺乏了解。例如，可以通过变量变换将伯努利方程式变换为线性导数。学生虽然表面上看好像掌握简单的微分方程的解，但实际上，他们对这个问题缺乏深入的了解。本文主要介绍线性化思维在整个微分方程研究中的应用，并通过具体示例，展示微分方程教学设计之线性化思想的应用

二. 教学设计分析

（一）融合背景，内容精炼.

微分方程课程的教育目的是连接过去和未来，与现实融合并面对边界。这是一门学习微积分、线性代数、复数函数的课程，是后续功能分析、计算方法和其他专业课程的基础。一方面，课程的内容紧跟工程实践，使学生能够理解生活中的数学;另一方面，课程的内容面向学科的边界，面向数学的热点。科学研究，面向新时代，培养理性分析和解决问题的能力。创新能力。受时间限制，课程内容应突出相关的物理背景，适当结合实际的工程背景，并确保课程内容得到改善。例如，数学物理方程中包含的三个偏微分方程的推導是本课程中的第一个难度级别。在讲述时，必须首先清楚地解释所讨论的物理现象，指出限制该现象的相关物理定律，并分析物理定律。物理量之间的数学表达式关系，最后是适当的数学处理和相应方程的推导。在建立模型的过程中，不断融合实际问题的物理背景，用数学语言描述和表达这些物理现象和实际问题.不同典型方程分别对应不同的物理背景，三类方程中的系数和非齐次项也包含了不同的物理含义.讲解时着重讲清实际背景，要从数学建模开始，也要贯穿基本概念的建立和主要结果的剖析.如此讲解与分析可以使数学概念和结果更加直观，有助于培养学生数学直觉与想象力、对工程技术问题的理解力.

（二）剖析思想，深入浅出.

微分方程本身包含大量数学思想，例如数学建模思想，简化复杂问题的思想，清晰解决方案的良好态度思想，级数和积分的收敛与发散思想，形式解和数值解。教师应使用数学知识作为交流工具，以诱使学生挖掘，完善和概括知识背后的数学思维，以便他们可以从隐性形式转换为显式形式，从而可以从数学知识和数学方法的模棱两可的经历中转换。学生记忆被转化为清晰的理解、精通和灵活的应用，最终完成了对数学知识和数学方法的必要理解。在讲授本课程时，教师不仅应努力介绍基础知识，还应强调课程中包括的数学思想，并在培养数学素养和数学思维能力的同时，帮助学生学习和获得知识。简化复杂问题的想法应在差异化过程中得到充分体现。高度综合的复杂问题通常分解为多个简单问题，并解决了简单问题，以完成对复杂问题的分析和解决。例如，它解释了根据物理定律建立清晰的微分方程解的方法，忽略了琐碎的因素，并将实际问题转化为数学模型。

三.实例分析

（一）微分线性化

考虑二阶非线性方程

（1）

其中：  表示函数   （ ） 关于自变量 x 的导数.对方程（1）进行微分，可得

（2）

通过微分，将微分方程（1）的解转换为方程y0和线性微分方程 的解。 显然，求解微分方程 比直接求解方程（1）容易得多。

（二）偏微分方程线性化

与普通微分方程相比，精确求解偏微分方程更加困难。然而，数学家和物理学家提出了一套精确求解偏微分方程的方法，例如分离变量的方法和反向散射的方法。本文介绍了孤子理论中著名的KdV方程，并利用行波约化的方法给出?方程的单孤立子解以及两孤子解。的确，在这一部分中，学生可以继续通过偏微分方程的线性化探索线性化的概念，以增强学生对微分方程线性化的理解。

KdV 方程的表达式为：

（3）

引入变换

（4）

得到

（5）

方程（5）仍然是一个非线性方程，看起来比方程（3）本身更复杂，但是由于方程中的每个项都是由函数f及其导数的乘积组成的二次函数，因此该方程可以视为 （5）双线性方程。日本学者（Ryogo Hirota）引入了以他命名的Hirota双线性算子，以便以更简洁的形式编写双线性方程。最后可以算得两个孤子解，即

（6）

四.结论

综上所述可以分析得到，可以通过分析常微分方程过程的教学状况和学生的数学基础，建立课程的教学设计策略以及分析教学困难来获得这一目标。以解决方案的存在性和新颖性为例，探索“整合背景、分析思想、延伸课堂、应用分析”的设计理念，以培养学生分析问题，解决问题和创新科学研究的能力。

参考文献：

[1] Nail H I.微分方程与数学物理问题[M].陆琦，杨凯，胡享平，译.北京：高等教育出版社， 2013

[2] 刘玉堂，辛祥鹏.二次 Riccati 方程研究综述[J].聊城大学学报：自然科学版，2017，30（3）：21-27

李爱玲

（河北北方学院