高中数学课堂中学生抽象能力的有效培养

陈进忠

摘 要：抽象能力是数学六大核心素养之一。《普通高中数学课程标准》指出：“通过数学课程的学习，让学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验。”培养抽象能力是提升数学思维能力的重中之重，也是现代数学教育的一项重要目标。下面针对高中数学教学中如何提升学生抽象能力进行具体阐述。

关键词：抽象能力;数学教学;培养途径

史宁中教授说过：“数学在本质上研究的是抽象的东西，数学的发展最重要的基本思想也就是抽象，只有通过抽象才能得到抽象的东西。”可以说没有抽象，就没有数学。所谓数学抽象思维是一种以数学内容为基础，通过观察、实验、类比、归纳等途径从同类事物中抽取的具有共同、本质属性特征的数学思维。培养抽象能力是发展学生数学能力的首要前提。

一、利用数学概念，培养抽象能力

华罗庚曾说过：“数学的学习过程就是不断建立各种数学概念的过程。”而数学概念的形成是经过多次“从具体到抽象、从特殊到一般”的过程，反映的是一类对象所具有的典型本质属性特征，是一种数学的思维形式。数学概念是构成数学定理、公式、法则的基础，是进行数学推理与论证的手段。而数学结构、数学思维、数学命题等都可以看作是数学概念进一步抽象的结果，因此，让学生感知与经历数学概念的形成过程，也是让学生经历多个层次的抽象过程，是培养抽象能力的重要环节。

数学概念呈现高度“抽象性”和“概括性”特点。杜宾斯基强调：“从现实情境中逐步抽象出数学概念的过程，可以弥补传统概念同化式教学的弊端。”例如，在“函数的概念”一课的教学时，本节课教学目标是让学生在实际问题情境中抽象出函数概念，并感受抽象的全过程。在课堂中首先带领学生回顾初中函数概念和形式，为理解高中数学概念做好前置知识铺垫。然后，结合生活实际，创设以下实例情境：

情境1：某城市居民天然气收费标准为：每月用气量不超过30立方时，按照3元/立方收费;超过30立方而不超过50立方部分，按照4元/立方收费。如果小李家每月用气量为不超过30立方，月用气单价为元，每月交天然气费元与用气量。

（1）上述问题中的变量是什么？用气量？月用气单价？

（2）你可以用自己的方法表示出题目中的变量吗？

（3）用气单价是用气量的函数吗？每月交天然气费与用气量的函数吗？

显然，根据已知条件，用气单价与初中函数概念中有两个变量的已知条件相矛盾，引发了学生的认知冲突，通过三个问题的逐层深入，让学生学会如何表示变量，并找到对应的函数关系。

情境2：国际上利用“恩格尔系数”来反映人们的生活质量水平，该系数随着时间的变化情况如下表所示。

提问：请尝试描述恩格尔系数与时间之间的关系？

学生通过观察表格发现，恩格尔系数与时间分别可以用集合A和集合B表示，且在集合中A的每一个时间t，在集合B中都有唯一确定的值与之相对应。

通过情境1和情境2两个实例的分析，引领学生归纳其共同点，结果发现它们都是生活中的例子，且都具有对应的关系。那么究竟什么是函数呢？让学生自主的定义并表征出函数的概念，教师给予纠正和总结，这样，在情境中，学生经历了从具体事物中抽象出函数概念的全过程，有效促进了学生抽象能力的培养。

二、利用数学建模，培养抽象能力

弗赖登塔尔说过：“模型是一个对象的表属性和规定性的体现，人们可以通过具体的模型获得抽象的感性认知。”数学建模的过程，就是将现实世界问题进行数学抽象，形成一个数学问题，并用数学知识分析与解决问题的过程。可以说数学建模是数学抽象的前提。因此，在实际教学中，要培养数学抽象能力，从数学建模活动入手，不失为一个好的教学方法。

“数学就是对于模式的研究。”随着房价的不断上涨，贷款购房成为人们关注的热门话题。在“等差数列”教学时，我们不妨将贷款购房问题具体化，设计以下问题情境，引领学生建立数学模型进行分析并解决问题。

情境3：小刘为购房需要向银行贷款60万元，贷款时间为25年，贷款年利率为7.2%，假设小刘工资每月去除开销后能存5000元，那每个月还款额为多少在小刘的承受范围之内？

目前银行按揭贷款主要有等额本息和等额本金两种还款方式，根据题意，可以构建两种还款模型，通过分析与比较两种还款模型，来确定每个月的还款额。

（1）等额本息还款模型。将贷款总额与总利息平均分摊到每个月，在该还款方式中，虽然每个月还款额相同，但是本金是逐月增加、利息逐月减少的。

由已知，可设贷款额a0=60（万元），年利率q=0.006，还款时间n=1，2，3，…300（月），an表示第n个月尚欠银行的款，x表示每个月还款额度，构建数学模型：

根据递推关系分析，该模型为等差数列模型。

由此可得：xn=5600-12n。每月还款额为首项5600，公差为-12的等差数列。贷款本金和利息总额为1141800元。

两种数学模型相比较，可知，虽然模型2所需要支付的总额低，但前几个月的还款额明显超出了小刘的承受范围。因此，确定采用模型1的还款方式比较合适。

可见，对实际生活分析的过程，就是让学生经历从生活问题中抽象出数学模型来解决问题的过程，开展数学建模教学，能有效提升学生的数学抽象能力。

三、利用数学推理，培養抽象能力

数学抽象与数学逻辑推理有着密切的联系，其中，数学推理是一种由已知到未知的方法，包括了数、式的演算与证明过程，而数学推理的过程往往是从最抽象的数学公理体系出发，运用归纳推理、合情推理、类比推理和演绎推理等方法逐步寻求新的结果。而这一过程是利用学生感官直觉从已知问题中抽象出一般性原理的过程。可以说，数学抽象始终贯穿于数学逻辑推理的过程。

数列推理论证题的求解是高考重点，涉及函数、方程、分类讨论、等价转化等重要思想方法，突出考查学生的数学抽象能力和逻辑推理能力。

例1：在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+3，求通项an。

例2：在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+3n-4，求通项an。

例3：在数列{an}中，a1=1，an+1=3an+4·2n，求通项an。

对三道例题进行整体分析，发现三个问题的形式比较相近，将其特殊值一般化，可以抽象出以下问题：在数列{an}中，a1=a，an+1=kan+f（n），求通项an，通过对一般形式变形可得：an+1+g（n+1）=k[an+g（n）]，从而可以求出通项公式。这样通过逻辑推理分析，就抽象出了三个数列问题的通用求解方法。

在实际教学中，让学生经历具体问题抽象化一般问题，既能使学生深刻的理解问题的求解思路与策略，又能有效提升学生的抽象能力。一旦学生具备了这种能力，其解题效率也会大大提升。

四、利用数学实验，培养抽象能力

表象反映了一类事物的共同特点和特征，是人们思维意识中对客观事物的一种客观印象。表象思维是形象思维和抽象思维沟通的桥梁。而数学实验教学是让学生在动手、动脑的经历中去抽象的过程，其宗旨是让学生将具体过程抽象为具有高度概括性和抽象的数学知识。因此，将数学知识的讲解以数学实验的过程呈现在学生面前，既有利于刺激学生大脑皮层，激发学生学习热情和积极性，还能在动手实践的过程中提升抽象概括能力。

GeoGebra软件具有强大的绘图能力，且操作简单，便于学生实践。例如，在“对数函数及其性质”一课教学时，学生通过前面“指数函数及其性质”的学习，已经掌握了对函数图象和性质研究的基本方法。因此，本节课教学思路是：

首先结合考古学知识创设数学问题情境：考古学家通常会根据附着在出土文物和遗址上死亡生物体的残留物之间的关系t=p来推算出土文物年代。

为学生提供了一组数据，让学生利用GeoGebra软件判断是否为对数函数，实验结果显示是对数函数。师生交流，从具体问题抽象出对数的概念。

然后，让学生以小组为单位，仿照指数函数及其性质的研究过程，理解对数函数的概念，并能利用GeoGebra软件画出具体的对数函数的图象，从而借助数学实验教学来探索对数函数的性质。学生借助分类讨论的思想，动手作图，用软件展示了实验成果，同时，通过相互讨论，从图象中发现了函数的性质，在用特殊值验证性质正确性的基础上，然后再从特殊抽象出一般的特征。

通过实验主动探索、积极动脑和动手，才能让学生在感受客观事实的同时，又适当地利用理论知识进行论证，有效促进了数学抽象概括能力的培养。

“抽象是数学思维形成的基础。”数学抽象反映了数学的本质特征，有助于学生形成一般性问题思考的方法与习惯，对于学生数学核心素养发展影响较大。抽象能力的形成过程，是数学知识积累消化和数学思维能力不断提升的过程，积极引导学生进行抽象思维能力训练，有利于完善学生的思维结构。

参考文献：

[1]周先华.高中数學核心素养之数学抽象能力的培养实践初探[J].数理化解题研究（高中版），2017（7）：39-41.

[2]张亚男.高中数学教学中学生抽象能力的提升途径探究[J].高考，2019（14）：208.