心有“0”犀“1”点通——浅议指对幂比较大小的常用技巧

四川 杜海洋

(作者单位:四川省成都经济技术开发区实验中学校)

从近几年高考情况来看，指数、对数及幂的大小比较为高考的热点内容，一般以选择题为主.这类考试题目通常是三个指数和对数及幂混在一起，进行排序.解决这类问题如果两两进行比较，有时则花费的时间较多，本文介绍处理此类问题的常用方法与技巧.

涉及指对幂比较大小时，如果式子中易求大于0或小于0先区分还容易办到，但让学生感到困难的是当式子的值都大于1或小于1时，此时的技巧手段就需要有高招了，即0，1是这类问题的分水岭，下面笔者以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧，以飨读者！

一、比较大小的基本思路

(1)求同存异:如果两个指数(或对数)的底数相同，则可通过指数(真数)的大小与指数(或对数)函数的单调性判断出指数(或对数)的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况.

(2)利用特殊值作“中间量”:在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤(在兵法上可称为“分割包围，各个击破”)，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1=log22

(3)利用函数的单调性比较大小:例:f(x)在[a,b]上单调递增，则∀x1,x2∈[a,b],x1

总之，比较数式的大小，若同底，考虑指数函数(或对数函数)；若同指，则考虑幂函数，再利用函数的单调性比较大小；若不同底，也不同指，则其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决，或者利用中间量法.

二、比较大小的常用方法

策略一、估算法

就是把复杂问题转化为较简单的问题，求出答案的近似值，或把有关数值扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计，进而作出判断的方法.

【例1】比较log39.1与log23.9的大小.

【解析】因为1=log22log23.9.

策略二、特殊值法

就是运用满足题设条件的某些特殊数值对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判断选项真伪的方法.用特例法解选择题时，特例取的越简单、越特殊越好.

【例2】若a>b>1,0

( )

A.ac

C.alogbc

【针对训练2】若非零实数a,b满足2a=3b，则下列式子一定正确的是

( )

A.b>aB.b

C.|b|<|a| D.|b|>|a|

【解析】令a=2,则4=3b，易得1b.

策略三、数形结合法

就是利用函数图象或数学结果的几何意义，将比较大小与某些函数图象结合起来，利用函数图象性质，再辅以简单计算，确定正确答案的方法.

( )

A.a>b>cB.b>a>c

C.a>c>bD.c>a>b

在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=log2x,y=log3x,y=log4x的图象,如图所示:

( )

A.x3

C.x1

策略四、单调性比较法

解题时根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较大小，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数.然后根据函数的单调性进行比较大小.

【例4】已知a=2.12.2,b=2.22.1,c=log2.22.1，则

( )

A.c

C.a

所以c

( )

A.x>y>zB.z>y>x

C.y>x>zD.z>x>y

策略五、中间量法

【例5】

类型1、指数型(桥梁a0=b0=1)

(1)比较大小1.70.3________0.93.1.

【解析】观察题目可发现两个数的底数、指数都不同，但可以根据指数函数的单调性，构造中间量，与数1先进行比较.知1.70.3>1.70=1=0.90>0.93.1.

注意:在研究指数函数时，总会提到a0=1(a>0,a≠1)，即指数函数过定点(0,1)，更深入一些理解，这个定点也是一个重要的分界点，把函数值分为了大于1和小于1两部分.

【解析】底数、指数都不同，构造中间量比较大小，先与数1，0比较.

(3)已知a=log20.2，b=20.2，c=0.20.3，则

( )

A.a

C.c

【解析】a=log20.220=1，∵0<0.20.3<0.20=1，∴c=0.20.3∈(0,1)，∴a

类型2、对数型(0=loga1=logb1)，(1=logaa=logbb)

( )

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

(2)设a=log54，b=(log53)2，c=log45，则

( )

A.a

C.a

【解析】∵a=log54log44=1，

∴c最大，又因为a,b∈(0,1)，但b=(log53)b，故选D.

【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0,1这样的特殊值能起到事半功倍的效果.

类型3、以上讲的两种类型，都是用比较常见的0,1作为桥梁进行大小比较，然而有些值不能用0,1来作为中间量进行比较，但是我们仍然能够找到其他的中间量.

两者均大于1或均小于1且大于0

(1)0.80.5________0.90.4.

【解析】由式子可得两者均小于1，这时我们可以构造中间量0.90.5或0.80.4，目的是转化与其中一个式子构造同底，与另一个式子构成同指，即比较sm，tn的大小，构造中间量sn或tm.0.80.5<0.90.5<0.90.4.

(2)log3.12________log32.1.

(3)已知a=log910，b=log1011，比较a,b的大小.

【针对训练5】试比较log54与log43的大小.

即:比较logab，logmn的大小，构造中间量logan或logmb.

策略六、对数法比较大小

上面的题目可以用函数方法或中间量的方法来比较大小，但是有些题目，靠上述手段很难比较大小，我们就需要新的武器——对数法比大小.我们看下面的题目，这时就显示出对数法比大小的优势.

注意:此时中间量并不能判断出两数大小，所以我们转换思路，用取对数的方法，进行比较.

【针对训练6】若a>0,b>0,比较algb与blga的大小.

【点评】1.对数法比大小，先取对数，比较对数值的大小，得到真数的大小；2.只适用于比较两个正数的大小，遇到负数需要先做出转化.

指数、对数及幂的大小比较问题方法灵活，常常给人以“乱花渐欲迷人眼”的感觉，而对其问题进行归纳总结，会发现这类问题的解法往往可以从代数和几何两个方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答，体现对数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算及直观想象等核心素养的考查.当然除了以上介绍的方法外还有作商、作差等比较大小的方法，有时一题也可从不同的方法入手均可获得突破，以上举例起到一个抛砖引玉的作用，平时在学习时多留意，多积累，相信以后解决此类问题时就会有“浅草才能没马蹄”的轻盈之感.