从高考的视角探寻导函数研究函数单调性的一般规律

广东 廖邦亮

函数的单调性是函数重要的性质之一，对深入研究函数的图象、比较函数值的大小、解不等式、求极值、最值、取值范围、判断函数零点个数和证明不等式等，都起着至关重要的作用，是函数综合问题的基石.因此，函数单调性的考查是高考函数导数题的重点.

导函数是解决函数单调性问题的“利器”，而利用导函数研究函数单调性的重点和难点，就是当导函数含参数时如何找到合适的参数分界点，顺利地判断出导函数的正负来确定函数的单调性.因此对参数的分类讨论是解决问题的关键，这要求学生具备良好的分类与整合、数形结合的数学思想和学科素养.

本文通过几例高考题，对用导函数研究函数单调性的题型进行分类，对解题步骤进行归纳，对分类讨论的分界点进行总结.

题型1：导函数局部“单根”型，根是否在定义域内为分界点

【例1】(2017·全国卷Ⅲ理·21节选)已知函数f(x)=x-1-alnx.若f(x)≥0，求a的值.

Step 1:x∈(0,+∞);Step 2:f'x =x-ax;Step 3:g(x)=x-a.Step 4,5:gx 与fx 草图;f1 =0.当x∈(0,a)时,f(x)单调递减;当x∈(a,+∞)时,f(x)单调递增.当x∈(0,+∞)时,f(x)单调递增.

续表

【点评】①对导函数通分化简后，发现只需研究局部g(x)=x-a(x>0)即可，其为“单根”型，根为x=a，函数单调性讨论的分界点为此根是否在定义域内；

②Step 6中，要解不等式a-1-alna≥0，需构造函数h(a)=a-1-alna(a>0)求解，对于函数h(a)的单调性研究与此题相同；

③通过上述分析，我们还可以将问题变式为求f(x)的单调性、零点个数、极值点个数或极值点偏移等问题；

④类似高考题：(2017·全国卷Ⅱ理·21)已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0.

(Ⅰ)求a；

(Ⅱ)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e-2

【答案】(Ⅰ)a=1;

(Ⅱ)证明略.

题型2：导函数局部为“类单根”型，有解无解为分界点

【例2】(2017·全国卷Ⅰ理·21)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；

(Ⅱ)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

Step 1:x∈R;Step 2:f'(x)=(aex-1)(2ex+1);Step 3:g(x)=aex-1.Step 4,5:gx 和fx 的草图.

续表

【点评】①对导函数因式分解后，发现只需研究局部g(x)=aex-1为“类单根”型，即a≤0时无根，a>0时有一根x=-lna，函数单调性讨论的分界点为有根和无根；

③通过上述分析，我们还可以研究函数f(x)的单调性、零点个数和极值点个数等问题，本题的第二问就是研究极值点偏移问题.

题型3：导函数局部为“双根”，“双根”的分布为分界点

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

Step 1:x∈(0,+∞);Step 2:f'(x)=-x2+ax-1x2;Step 3:g(x)=-x2+ax-1.Step 4,5:gx 与fx 的草图,x1=a-a2-42,x2=a+a2-42.

续表

②本题第(Ⅰ)问要讨论f(x)单调性问题，一目了然.第(Ⅱ)问先根据函数的极值点个数确定参数的范围，也非常清晰.

题型4：导函数为“类双根”型，根的个数和大小比较都是分界点

【例4】(2016·全国卷Ⅰ理·21节选)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.求a的取值范围.

Step 1:x∈R;Step 2:f'(x)=(x-1)(ex+2a);Step 3:g(x)=(x-1)(ex+2a).Step 4,5:gx 与fx 的草图;g(1)=0,f(1)=-e.Step 6:若fx 有两个零点,求a的取值范围.当a>0时,两个零点.当a=0时,一个零点.当-e2

【小结】①当a≥0或a<0时，导函数f′(x)=(x-1)·(ex+2a)可能是“单根”或“双根”型，因此称之为“类双根”型导函数，这是讨论的分界点之一.

②“单根”的讨论简洁，但“双根”时，两个根的大小不知道，因此讨论的分界点之二就是比较两个根的大小.

③本题是研究函数零点个数，离不开函数的单调性和极值.

当a>0时，f(x)在(-∞,1)上递减，在(1,+∞)上递增，x→+∞时，f(x)→+∞;x→-∞时，f(x)→+∞，且f(1)=-e<0，故f(x)有两个零点；

当a=0时，f(x)在(-∞,1)上递减，在(1,+∞)上递增，x→+∞时，f(x)→+∞;但是x→-∞时，f(x)→0，f(1)=-e<0，故f(x)只有一个零点；

④显然本题对单调性、极值点个数和零点个数等性质的分类探讨分界点多且综合性强，非常典型.

⑤类似高考题：(2019·全国卷Ⅲ理·20节选)已知函数f(x)=2x3-ax2+b.讨论f(x)的单调性.

通过上述几例的分析，我们可以做如下总结：

【解题步骤】Step 1：确定函数的定义域；Step 2：对函数求导；Step 3: 对导函数进行整理，包括通分和分解因式；对导函数“去粗取精，化繁为简”，即去掉导函数中恒正或者恒负的部分，留下要讨论的局部；Step 4：根据参数判断导函数或局部导函数的正负；Step 5：画出导函数或局部导函数的草图，并确定原函数图象；Step 6：解决极值、最值、零点、恒成立、求参数范围和证明不等式等问题.

【分类讨论分界点】根据导函数或者局部导函数的特点，常见特征为“单根”或者“双根”形式，讨论的分界点有：①定义域内有无零点；②定义域内有几个零点；③若定义域内有多个零点，比较零点的大小.