高效复习视角下的“一题冲关”教学策略——以《圆的有关性质》复习课为例

林细俤

（福清元洪高级中学，福建 福清 350300）

复习课是数学教学的重要组成部分，学生高效复习是教学效果的重要保障。教师在复习时总会遭遇“教师白讲学生白听、旧鞋走新路、听懂而不会、温故不知新”等现象，如何改变这一现状，是每一位数学教师非常值得研究的问题。笔者在复习课教学时，一直坚持采取“一题冲关”策略，经过多年实践与积累，收到不错的教学效果。所谓“一题冲关”就是教学过程以一道典型题（可以是例题、习题等）为主线，将该题的价值和功能贯穿整节课堂的始终，让学生进行有深度的学习和高层次的认知，使学生的关键能力和必备品格得到培养和发展。下面以《圆的有关性质》复习课为例，谈谈如何用“一题冲关”模式在复习课中实施。

一、“一题冲关”实例

［人教版九（上）第87 页例4］已知：⊙O 的直径AB 为10cm，弦AC 为6cm，∠ACB 的平分线交⊙O 于D，求BC，AD，BD 的长。

（一）设计理念

遵循以生为本、全面发展、循序渐进原则，设计涉及面广、能导可拓的问题串，让学生在一定的时间内去动脑、动手、动口，经历一题多解、多变、多用、多题一解、图形生成、拓展延伸等环节，努力使不同程度学生在课堂上均能展现自我。促进学生逐步学会观察联系、发现问题、提出问题、逻辑分析、辨析验证、得出结论，感悟蕴含其中的数学思想与方法，逐步学会批判性思维、学会数学的运用和创新。［1］

（二）问题情境：

【问题1】：请在图1 画出一条直径（工具不限）。

【问题2】：如图2，AB 是⊙O 的直径，点C 在弧AB上，连接AC、BC，请问∠ACB 是什么角？

【问题3】：请在图3 找出弧AB（直径AB 下方）的中点D。

【问题4】：如图4，⊙O 直径AB 为10cm，弦AC 为6cm，∠ACB 平分线交⊙O 于D，求BC，AD，BD 的长。

【问题5】：同学们能求出CD 的长吗？

【问题6】：若点C 为弧AB 一动点，其他条件不变，AC、BC 与CD 存在什么样的数量关系?

【问题7】：如图5，△ABC 内接于⊙O，点D 是弧AB 上一点，过点D 作DE∥AB 交CB 的延长线于点E，连接AD、BD、CD。求证：△ADC∽△BED

【问题8】：如图6，请同学们将DE 向下移至与⊙O相切时，寻找并证明新的一对三角形相似。

二、坚持“三个精准”

（一）要精准选题

既然要选定有代表性、具有很好的示范和辐射作用的典型题一节到底，教师肯定要精准选题，对该题进行筛选、归档、积累，从而让有限的复习时间最大限度解决问题。对于所涉及的问题实现哪些教学目标，突出哪些教学重点，突破哪些教学难点，训练哪些数学能力和技能，培养哪些核心素养，自然要做到更精准，更有针对性。如人教版九（上）第87 页的例4，该题具有易导易拓，辐射面广特点，完全能够将圆的有关核心性质一节到底，特别是在处理【问题6】时，用画板将点C 运动到使CD 为直径的位置（如图7），从特殊情况入手，从而得出数量关系，再研究一般情况，有利于培养学生从特殊到一般的研究策略，使学习流程更优化和再创造。

（二）要精准训练

课堂训练是复习课重要的一环，任何时候都要明白教学服务的对象是学生，学生核心素养的提升要靠“训练”，贯穿课堂始终的典题要把哪些思维含量高的训练留给学生。因此，“一题冲关”的选题一定要让学生进行精准训练，既要能适当增加训练的量度，也要能保障训练的厚度。特别是要选择那些能突出通性通法、培养学生核心素养的好题精题，使学生通过“一题冲关”能够达到做一道通一类的最佳训练效果。如处理【问题4】后，为更能够进行精准训练，特增加【问题5】和【问题6】两个问题，借助于一图多用，让学生把握图形的本质，提高运用抽象思维解决问题的能力，让学生不断明白与积累“圆的计算想垂径，直径与直角是兄弟，定弧定角，研弧（角）导角（弧）”等常规思维。

（三）要精准讲解

教师在教学过程中，主要的角色是做学生学习的促进者。教师的促进作用主要体现在精准的讲解上，它完全体现一位教师的专业水平，教师对于学生处理问题会遇到什么困难、产生什么疑惑、出现什么错误、用什么方法和途径解决问题等做到心知肚明。通过“一题冲关”要能使所讲的内容把握关键点，更能反映当前学习内容的本质，不管是集体还是个别讲解，要能涉及到学生“痛点”，达到那种既能教会学生造船的技术又能调动学生对大海的向往和渴望的效果。在处理【问题4】时，讲解最精准的地方是要让学生从较复杂的图形中挖掘出基本图形（如图8），强调等腰直角三角形直角边与斜边的数量关系，为学生后续学习扫清障碍。

三、多角度辐射，追求广度

选题要多角度辐射，尽最大可能提高“一题”的广度。好的“一题”肯定是能够多方面、全方位涉及本节课的核心知识点，为教学目标、突出重点、突破难点服务的。选定的典型题能够一节到底，就要考虑到它的广度，遵守有效教学和学生发展原则，立足基础，合理延伸，适当创新，成为促进学生发展的重要推手。好的“一题”要能够覆盖新旧知识的衔接、知识与问题的联系、学生认知冲突、学生技能形成等方面。为充分发挥上述典型题的示范引领作用，将该题拆成8 个问题情境：

【问题1】设计说明：由于作图工具不限，让学生灵活运用直径所对的圆周角是直角、垂径定理及圆的对称性知识点，培养学生画图、识图的技能。

【问题2】设计意图：掌握“直径、圆周角概念、直径所对的圆周角是直角”等知识点，全员参与，提高该题的广度。

【问题3】教学实录：学生经过合作讨论，形成共识，总结出作∠ACB 的角平分线和直径AB 的垂直平分线两种方法。

【问题4】教学说明：通过前面3 个问题的铺垫，学生感受图形生成过程，理清勾股定理、圆周角、圆、弧、弦之间关系，独立解题并示范，提高掌握圆的有关核心性质水平。

【问题5】教学实录：学生解决上述问题后，意犹未尽，热情高涨地将剩余的线段CD 长求出，从而导出特殊角（45 度）的模型。

【问题6】教学功能：激发学生思维，让学生思维得到升华，满足一部分学生够得着、能吃饱。

【问题7、8】设计目的：重视知识和技能在新的情境中的应用，让学生将圆的有关性质与切线有关内容、相似三角形相结合，为下一阶段的复习起着承上启下的作用，使整个教学更具整体性和系统性。

以上8 个问题情境从多角度、全方位进行设计，涉及到圆的所有核心知识点及数学前后知识的联系和延伸，充分体现“一题”的广度和价值。

四、多渠道挖掘，把握效度

笔者一直推崇的理念是“眼中有学生，以学生为中心”。［2］正如教育家波利亚说：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域”。设计“一题”必须依据学情，要符合学生的认知水平和学习能力，要充分考虑到该题的效度，只有有效输入，才能高产输出。因此，选题要多渠道挖掘，充分考虑“一题”效度，高效度的题不但要从教材的角度去思考，更要考虑学生的需求，特别是学生的价值实现层面。这就要求教师多渠道挖掘，将教学重难点、学生易错易混点融合在该题里，使学生探究该题时都能有一个学习、思考、提高的机会。以下是处理【问题5】教学片段：

师：由CD 平分∠ACB，会想到什么？

生：∠DCB=45 度。

师：为什么？

生：直径所对的圆周角是直角。

师：如何体现45 度的特殊性呢？

生：45 度只有在直角三角形才有特殊性，过点B作BE⊥CD 于点E 就可以了。

师：那么如何求出CD 的长？

生：利用BC、BD 的条件，在等腰Rt△BCE 和Rt△BDE 中用勾股定理或者三角函数就可以求出组成CD的两条线段长。

师：非常好！解决了这个问题，你们有什么收获？

生：只要有存在特殊角的问题，解决这种题目肯定没问题！

评注：本问题学生参与度高、涉及面广，问题效度主要体现在让学生意识到，只要存在特殊角的问题，就能够可导、易导、能导。

五、多维度延伸，体现梯度

高效复习课必须体现教学的梯度，教学过程中，往往将“一题”拆成若干个问题情境，体现出层次感和梯度感，使学生对该题的学习经历一个由浅入深，由表及里，环环相扣的过程，使这些分问题起到良好的铺路搭桥作用，让学生紧紧跟随、步步思考、层层突破。为让全体学生能掌握最基本的数学知识与技能，本节设计的【问题1】和【问题2】，由于过于简单，几乎每个人都会知道垂直、直角与直径的关系，也都能找出圆心的位置和圆周角的度数，代替过去数学带来的挫折感和失败感，学生有了表现的平台和成功的体验，学习数学的热情与自信心自然就能得到提高。为了能多维度延伸和呈现“一题”的梯度，在处理完【问题6】后，学生有证明的渴望，在教师的启发引导、学生深度探究下，课堂上发掘出两种方法（如图9）：

全等法：过点D 作DF⊥AC 于F，DG⊥BC 于G，通过证明△DAF≌△DBG，将AC+BC 转换成2CF，再利用正方形CFDG 得到等腰Rt△CDF，利用腰CF 与斜边CD 的关系，最终得到AC、BC 与CD 的数量关系。

旋转法：将△DAC 绕着点D 顺时针旋转90 度得到△DBE，通过证明点C、B、E 三点共线得到等腰Rt△CDE，将AC+BC 转化成CE，利用腰CD 与斜边CE 的关系，也能得到AC、BC 与CD 的数量关系。

评注：通过上述问题的延伸拓展，让学生感受到转化思想、旋转变换及共点三线段模型，充分体现问题的梯度性，对学生的思维训练和技能培养起着巨大促进作用。