一种求分段函数在分界点处导数的新方法

展丙军，展铭望，隋殿杰

一种求分段函数在分界点处导数的新方法

展丙军1，展铭望2，隋殿杰2

（1. 大庆师范学院 数学科学学院，黑龙江 大庆 163712；2. 广东石油化工学院 机电工程学院，广东 茂名 525000）

分段函数在分界点处的导数通常要用导数的定义求解，而这种常用方法比较繁琐．给出了一个很重要的新结论，利用这个结论求解某些分界点处的导数简单很多．通过例题展示了这种新方法，体现了其在分界点处连续的情况下求取导数的优越性．

分段函数；分界点；导数；连续函数

无论在高等数学教学中，还是在各种考研资料中，大都会强调分段函数在分界点处导数的计算必须要用定义来求解[1-4]．如果分段函数在分界点处的导数用定义来计算的话，通常要分别求2个极限来确定左、右导数是否存在，进而得到该函数在分界点处是否可导，这对初学者来说是较为困难的．因此，许多教师以及数学爱好者对分段函数在分界点处的导数问题进行了探讨，就这一问题进行了一定的研究，给出了一些相关的结论与方法[5-11]．但是，这些结论和方法中，有的最终还是没有避免求极限，有的不好把握，用起来也很不方便．为此，本文将进一步研究，有针对性地找到行之有效的方法，解决这一难题．

1 主要结果及证明

2 实例

利用定理，可以得到求解分段函数在分界点处导数的新方法．

对比例1的解法1和解法2，新方法的优越性得到了充分的体现．

[1] 世华，潘正义．考研数学十年真题全方位解码（数学一）[M]．北京：世界图书出版公司，2008：231

[2] 陈文灯，黄先开．考研数学复习指南（经济类）[M]．北京：世界图书出版公司，2009：53

[3] 陈文灯，黄先开．考研数学复习指南（理工类）[M]．北京：世界图书出版公司，2008：46

[4] 陈文灯，陈启浩．考研数学10年真题点评（数学一）[M]．北京：北京理工大学出版社，2008：158

[5] 李胜正，孙作胜，房毅宪．分段函数在分界点处导数的一种求法[J]．山东轻工业学院学报：自然科学版，2008，22（4）：69-71，74

[6] 庞帮艳，于晓要．分段函数在分段点的可导性研究[J]．西昌学院学报：自然科学版，2014，28（4）：25-26

[7] 贾延．高等数学中分段函数在分界点处可微性的判定方法探析[J]．数学学习与研究，2019（21）：14-15

[8] 赵晓艾．一道分段函数在分界点导数题目的推广[J]．高等函授学报：自然科学版，2008（2）：25-27

[9] 王玉苏，崔湛林．分段函数在分界点处的求导问题[J]．石家庄职业技术学院学报，2007（6）：59-60

[10] 任树联．讨论分段函数在分界点处极限、连续性及导数的定理[J]．宜春学院学报，2006（4）：15-16，38

[11] 张驰，文传军．关于分段函数分界点处求导的探讨[J]．常州工学院学报，2004（2）：27-29

A new method for finding the derivative of a piecewise function at the boundary point

ZHAN Bingjun1，ZHAN Mingwang2，SUI Dianjie2

（1. School of Mathematics Science，Daqing Normal University，Daqing 163712，China；2. School of Mechanical and Electrical Engineering，Guangdong Petrochemical College，Maoming 525000，China）

The derivative of piecewise function at the boundary point is usually solved by the definition of derivative，but this method is rather cumbersome．A very important conclusion was given，using this conclusion to solve the derivative at some boundary points is much simpler．This new method is demonstrated by examples， which shows its superiority in discussing derivative when the function is continuous at the boundary point．

piecewise function；boundary point；derivative；continuous function

O172.1∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.10.012

1007-9831（2020）10-0054-03

2020-03-07

展丙军（1963-），男，河南长垣人，教授，硕士，从事高等数学教学研究．E-mail：zbj196331@163.com