深度融合：基于GeoGebra的高中数学教学设计

【摘要】实现技术与数学的深度融合，离不开信息化教学环境的构造、新型教与学方式的实现和传统课堂教学结构的变革。以学科教学软件GeoGebra为例，将技术真正融入概念形成、规则演绎、活动探究、方法提炼等教学中，可以构建出完全不一样的数学教与学的新形态。

【关键词】教学设计;深度融合;教育技术;GeoGebra

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2020）59-0024-04

【作者简介】张志勇，江苏省常州市第五中学（江苏常州，213001）教师，正高级教师，江苏省教科研先进教师，江苏省“333高层次人才培养工程”培养对象。

随着知识革新及技术创新，以大数据、“互联网+”为背景的教育新时代已经到来。对于数学教学而言，教育技术已成为一种不可或缺的工具，“重视信息技术运用，实现信息技术与数学课程的深度融合”是我们理应深入探究的课题。实现技术与数学的深度融合，离不开信息化教学环境的构造、新型教与学方式的实现和传统课堂教学结构的变革。本文以GeoGebra为软件平台，就概念生成、规则演绎等内容谈谈如何将技术融入数学的教与学中，从而影响并推动着传统课堂教学结构的变革和数学教学新形态的构建。

一、概念形成中的融合设计

概念是数学思维方式建构或转变的基石，一个概念的背后往往蕴含着丰富的数学思想，分析、处理问题的策略与方法。因此，对于数学概念的学习，并不是仅仅能记住、说出它的定义，认识它的代表符号，而是要真正能够把握它的本质属性。概念教学中，要让学生认识到学习新概念的必要性，同时凸显概念的形成过程，让学生在大量例证中归纳、概括、抽象出概念的关键属性。

案例1：等比数列的概念教学。

等比数列教学可以从生活实例引入，并类比等差数列生成概念，通常可设计教学流程为“创设情境，提出问题→共性归纳，生成概念→自主探究，辨析概念→类比推理，拓展概念→问题驱动，应用概念”。融合视角下，在创设情境环节我们有更多的实例选择，如谢尔宾斯基三角形迭代过程中每一层中点三角形的个数、边长、周长、面积均呈等比数列（如下页图1，公比分别为3、1/2、3/2、1/4），选取这样新颖有趣的事例更易于激发学生的探究兴趣，事实上谢尔宾斯基三角形“周长无限面积趋于零”的特性也为后继研究提供了很好的铺垫。在辨析概念环节，如果仅仅从代数推演的角度解析等比数列的分类，往往很难让学生见到全貌，而有了图2所示的探索空间，当学生对等比数列的增减性、摆动性有了切身体会后，再从公比q的角度进行分类就水到渠成了，并且（指数）函数观念也已蕴涵其中。

概念形成需要从大量的实例和学习者的实际经验出发，以归纳的思维方式获得概念。于是融入技术元素，设计适于概念形成的学习情境并留给学生自主活动的空间，当是教学设计中应该重点处理的环节。

二、规则演绎中的融合设计

数学学习离不开推理运算，而公式法则、定理命题是运算推理的重要根基，学生运算出错、推理失败多是因为公式、定理理解不全的缘故。在常规教学中，定理法则的教学采用更多的是“告诉演绎”思路，即展示规则（告诉）→推导验证（演绎）→变式应用（操练）。技术融入后，可借助CAS系统（Computer Algebra System）增加“规则发现”环节，化单纯的演绎为“归纳+演绎”，为我们的教学设计提供更多的选择。

案例2：导数运算法则的“发现”教学。

以积的求导法则为例，在常规的教学流程中可增加下列环节：

（1）计算先行，感知规则。在GeoGebra的运算区中，先计算一些具体函数的导数，如y=x₂e_x、y=xsinx等，让学生认识到积的导数应该是和的形式;

（2）归纳猜想，发现规则。进一步的，在运算区中进行实验探究。如图3，改变基本函数f（x）、g（x）的解析式，考察f（x）g（x）的导数的变化，从而明确和式的由来，得出结果“（f（x）·g（x））′=f′（x）·g（x）+f（x）·g′（x）”。

这样的教学设计其实是借助技术的力量实现教学流程倒置，将原来的记忆操练变更为归纳发现（导数运算结果提前呈现给学生），在实现“向技术学数学”的同时，也创设了“再创造”数学的情境，让学生有机会在经历“观察现象→归纳猜想→证明猜想→应用拓展”的过程中，实现更高抽象层次上的抽象探究。虽然完整的教学流程还需要有演绎推证规则、变式应用操作（在练习过程中可将纸笔运算结果与计算机计算结果进行比对验证）环节，但有了技术的融入，我们在定理法则的教学中有了全新的设计选择，完全可以做过去课堂中做不到的事情。事实上，技术本身也是数学，GeoGebra可以方便实现符号计算功能，能更好地与注重形式化、符号化的数学学科相匹配，满足在计算机上推导数学公式的需求，如对表达式进行因式分解、化简、微分、积分、解代数方程、求解常微分方程等;进而满足学生在更高抽象层次上进行思考与探究，使形式化的符号也能成为学生高层次的数学认知基础。

三、活动探究中的融合设计

只有经历丰富的数学活动，数学学习才能积累足够的原初经验，于是应用现代技术的动态形象优势，可以创设生动活泼、富有启发性的情境，为学生理解概念创设背景，为学生探索规律启发思路，为学生解决问题提供直观呈现的方式，从而优化课堂教学，转变教与学的方式。

案例3：圆锥曲线的包络探究。

我们知道，圆锥曲线可以通过折纸的方式来呈现，但折纸操作过程费时费力，并且通过有限的几条折痕“看出”轮廓（包络线）也绝非易事，而这样的麻烦事换到技术环境中则可以轻松解决，从而让学生在数学活动中获取圆锥曲线概念的原始经验。如图4，拖动滑动条n，随着线段AC（C为圆B上的动点）的中垂线条数的增多，包络的呈现越发清晰，圆锥曲线便呈现在学生眼前;拖动改变A、B的相对位置可发现更多的精彩，当A点从圆B外运动到圆B内时，包络线由双曲线变成了椭圆，这样的动态变化过程恰好表明了圆锥曲线的内在统一性;从外在的包络现象到内在的数学原理探寻，数学知识便找到了很好的落脚点。以双曲线为例，取包络上的任意一点P，IPA-PBI=IPC-PBI=BC（P为线段AC的垂直平分线上的点，从而PA=PC），从而P点的轨迹为以A、B为焦点的双曲线。从发现包络的“惊诧”、动态联系的“美妙”到本质探寻的“原来如此”，数学学习的意义和价值在这样的活动设计中得到很好的彰显。

四、方法提炼中的融合设计

学数学就要解数学题，通过解题可以帮助学生深刻理解数学概念、掌握数学方法进而锤炼数学思维。从而数学教学的一个很重要的任务，就是教学生学习如何解数学题，教学生学会数学地思维。当然数学题目类型的千差万别决定了解题方法的多样性、复杂性，因此，探寻方法也就没有固定的规律可循。应用技术创设探究情境，可以让学生有机会尝试从不同的角度探究问题的各个方面，在展示解题思路的探求过程中解构解题策略的形成，思考“怎样学会解题”，在问题“源与流”的探寻中感悟“原来如此”的美妙。

案例4：导数零点问题探求。

零点问题是函数中的常见题型，应用零点存在定理证明零点存在的关键在于“找点”（即构造异号的函数值），如何“找点”成为教学的重点和难点。我们以简单问题“已知关于x的方程m=lnx/x有两解，求m的取值范围。”为例，设计探究流程如下：

（1）图象辅助，分析趋势。通过求导可以得

到f（x）=lnx/x的单调性（即在（0，e）上递增、在（e，+∞）上递减），绘制图象（如图5）则可以揭示渐近线的存在（x∈（e，+∞）时，随着x的增大，函数f（x）的图象始终在x轴上方且无限逼近x轴）;这样结合图象不难得出m∈（0，1/e）。

上述教学设计的实现离不开技术的融入，我们通过图象趋势观察（取势）、放缩本质思考（明道）达成优化解题方案（优术），事实上解题教学的价值和意义恰恰在于教会学生“怎样应用数学方法”“如何发现数学结论”，而解题策略的获取、解题观点的提升、思维层次的优化自然是教学设计中的重要考量。

随着教育信息化2.0时代的到来，数学教育由主要強调纸笔计算向充分使用现代教育技术转变已经是历史的必然。实现技术与数学教学的深度融合，要求我们在深入理解与掌握技术的基础上实施能有效变革课堂教学结构的创新教学模式，要在构建互动交流的数学学习环境的同时促进学生数学思维的提升。