基于损伤力学与安全衰减路径的含裂纹缺陷压力容器扩展寿命分析

毛志辉， 龙 伟， 刘华国， 黄文成， 胥 鑫

(四川大学机械工程学院， 成都 610065)

压力容器作为承压设备，广泛用于国防军工、材料运输、宇航工程等领域，同时其又属于具有高度爆炸危险的特种装备。十年前中国万台设备的重大事故率是发达国家的100倍[1]。裂纹是影响压力容器最常见的安全隐患，现有压力容器安全评定方法如美国《ASEM锅炉及压力容器规范》、英国《含缺陷结构完整性评定标准》、欧洲《欧洲工业结构完整评定方法》等[2-3]，对于裂纹缺陷无法给出准确的安全判定，更无对裂纹缺陷的安全裕度和扩展寿命做出准确预测。不少学者为了解决这个问题采用了许多种方法。张效成等[4]从高温钢材的蠕变性重点研究了蠕变断裂寿命估算问题，提出了基于Larson-Miller 参数法的利用分区分析与考虑宏观时效的长时持久寿命外推估算方法，该方法可在一定可靠度下进行有效的寿命预测；丁克勤等[5]则利用模糊数学方法，对缺陷扩展尺寸进行统计学意义上关联表征，提出了基于缺陷尺寸模糊表征的含缺陷压力容器的R6 安全评定方法；龙伟等[6]通过裂纹的失效路径与权函数法对压力容器的埋藏裂纹进行研究。提出了一种基于权函数的埋藏裂纹剩余寿命的计算方法。

综合来看，上述研究针对不同构件、从不同角度，探讨了压力容器缺陷安全裕度与寿命研究等重要的学术问题，不少研究取得了非常有益的成果，对该领域的理论技术发展和工程应用具有积极意义。但大多数研究均是基于断裂力学的Paris公式，只考虑了材料的线性弹性断裂，但塑性变形是裂纹在扩展过程中不可忽视的一个因素。

损伤力学是研究材料在各种不同加载条件下，材料损伤部位随着材料变形而发生演化并最终导致破坏的过程。压力容器在循环载荷的作用下逐渐产生疲劳损伤，当疲劳损伤到一定程度会发生疲劳断裂。在压力容器产生疲劳裂纹损伤累积的整个过程中不是单个裂纹进行演变的，而是众多群体裂纹损伤演化的过程，在宏观上为等低周疲劳下的应力幅值不断下降、等幅应力疲劳下的应变幅值不断增加[7]。对于基于载荷-寿命曲线的经典疲劳损伤理论从本质上来讲与基于断裂力学研究出的裂纹扩展公式是相同的[8]，用压力容器裂纹在疲劳循环中的扩展量来表示裂纹疲劳损伤量，从而使由损伤理论来计算裂纹的疲劳寿命有明确的理论依据。

双判据失效评定图(failure assessment diagram,FAD)方法是以弹塑性断裂力学理论为基础，在确定缺陷的安全性时，考虑两种极端的失效情况，即线性弹性断裂和塑性失稳，两者间存在着一种过渡的失效状态，为这种过渡状态引入反映其分别退化的线弹性断裂判据和塑性失稳判据，典型的如英国的CEGB-R6准则和美国的EPRI 准则[9-10]。基于FAD建立疲劳裂纹的安全衰减路径，依据安全衰减路径来确定裂纹在疲劳循环中的扩展量。

基于FAD安全衰减路径，结合在低周疲劳情况下的能量损伤理论，考虑了材料的线性弹性断裂，又结合了材料的塑性失稳判据提出了一种关于压力容器裂纹缺陷的扩展寿命预测模型，并运用Paris公式计算裂纹扩展寿命和使用Abaqus仿真软件中的XFEM模块仿真在低周疲劳下裂纹的扩展寿命，与提出的模型计算结果相对比，来验证模型的准确性。

1 低周疲劳损伤模型

当载荷大到足以使材料发生与弹性应变同数量级的塑性应变时，则发生低周疲劳损伤,因此低周疲劳损伤相对加载的循环载荷较少。对于低周疲劳损伤，Lemaitre等[11]基于能量损伤理论提出损伤增量表达式为

(1)

式(1)中：D为损伤变量；γ为累积塑性应变；α、S为材料常数；Y为损伤能量释放率，其表达式为

(2)

式(2)中：σeq为等效应力；E为杨氏模量；Rv为三轴应力比，其表达式为

(3)

应变硬化率为

(4)

式(4)中：n为应变硬化指数；Δγ为累积塑性应变幅；K为材料常数。

设在一个循环中某一瞬间D不变，则

(5)

式(5)中：γi为初始累积塑性应变；γ为累积塑性应变。

将式(2)与式(5)代入式(1)中，得

(6)

(7)

式(7)中：N为疲劳循环次数，对式(7)进行积分变换，当N=0，D=0；当D=1时，N=Nf，得

(8)

将式(8)代入式(7)即可得到低周疲劳损伤寿命方程：

(9)

2 基于安全衰减路径的裂纹疲劳扩展寿命计算模型

目前，大多数研究对含缺陷压力容器的寿命进行寿命估算时大都是通过Paris公式的迭代计算[12]，根据裂纹的长度和深度几何变化关系，用分步法计算裂纹的剩余寿命。所以如何建立损伤程度与裂纹尺寸的函数关系是求取裂纹扩展寿命的关键。对于损伤程度可以用缺陷评定的安全裕度来表示，记为

D=1-Mf

(10)

式(10)中：Mf为安全裕度，对于安全裕度的表征模型，通常基于使用双判据失效评定图的射线法，如图1所示。

图1 基于失效评定图射线法的安全裕度表征图Fig.1 Characterization diagram of safety margin based on ray method of failure assessment diagram

失效评定图中横坐标Lr为载荷比，纵坐标Kr为断裂比。对于射线法，图1中OB为缺陷A的总安全衰减路径尺寸，OA为衰减路径起点到缺陷评估点A的距离，则缺陷A的安全裕度Ms表达式为

(11)

然而，对于这种安全评定点按照射线法或者平行法发展明显与实际不符，从安全到不安全的衰减路径其扩展速率并不是保持恒定不变的，而是以速率逐渐加快的衰减路径逼近其安全临界线，该路径称为缺陷评定点在几何尺寸延展下的安全衰减路径，并把缺陷评定点沿安全衰减路径逐渐接近临界线的程度称为安全程度P。

建立符合实际的裂纹缺陷安全衰减模型，首先要得出裂纹在扩展过程中裂纹长度和深度的几何关联变化关系，通过评估标准计算出每个尺寸下的安全评定点，将计算出的安全评估的点集绘制在安全评估评定图上，得到安全评定点沿着一条曲线由安全区逐渐向非安全区靠近。在评定过程中需要对裂纹进行规则化处理，如图2所示。

图2 裂纹缺陷规则化处理Fig.2 Regularization of crack defects

图2中B为设备壁厚，l为测得裂纹在设备表面上最大长度，h为测得裂纹在设备壁厚方向上最大深度，c为规则化裂纹长度，a为规则化裂纹深度。Newman等[13]提出在裂纹成长过程中一直保持半椭圆形状，以及它们通过三维有限元数值计算建立的应力强度因子经验方程解。结合裂纹长度与深度的比值范围可以得到表面裂纹长度和深度的几何关联变化关系如下。

当a/c>1时：

(12)

当a/c≤1时：

(13)

对于埋藏裂纹，长度和深度的几何关联变化关系如下。

当a/c>1时：

(14)

当a/c≤1时：

(15)

根据长度与深度的变化关系运用压力容器安全评估仿真平台进行仿真，即随着加载时间增加将裂纹变化过程中的每一个裂纹尺寸在失效评定图中表示出来，得到安全评定点沿着一条曲线由安全区逐渐向非安全区靠近，如图3所示。

图3 压力容器裂纹缺陷的安全衰减路径Fig.3 Safe attenuation path of cracks in pressure vessels

从图3中可以看出，裂纹从安全区扩展到非安全区域是按照衰减路径变化的，在整个裂纹扩展过程中，分为三个阶段。裂纹扩展第一阶段为萌生扩展阶段，这一阶段裂纹扩展迅速在图3中显示为评定点稀疏且沿直线快速扩展；在稳定扩展阶段，这一阶段裂纹扩展规律符合Paris理论，安全评定点在失效评定图3中非常集中；最后裂纹失效扩展阶段，此阶段含缺陷设备即将安全失效，故安全评定点在图3中快速移动到安全边界。

缺陷安全衰减路径反映的是裂纹扩展情况在FAD图上的表现情况，安全裕度Ms其定义就是，裂纹的安全衰减路径从起始点到失效点之间的距离，即裂纹的失效尺寸。安全裕度的引用是为了更准确地描述剩余寿命，反映含裂纹缺陷的金属结构的安全程度，其计算公式为

(16)

式(16)中：f总为衰减路径在安全区域内的总长度；f(x)为衰减路径起点到评定点间的长度。

损伤程度可表示为

(17)

将式(9)进行积分可得，裂纹缺陷扩展寿命表达式为

N=Nf[(1-D0)α+1-(1-Di)α+1]

(18)

式(18)中：D0为初始损伤；Di为评定点损伤，可根据式(17)进行计算。

3 裂纹疲劳扩展寿命模型验证

为了验证所提出的计算扩展寿命模型的准确性，进行了算例计算，分别运用提出的模型与经典的Paris公式模型和扩展有限元仿真的计算结果进行对比，来验证模型的准确性。

3.1 Paris公式验证

某强度钢的压力容器其平均直径为1 000 mm，壁厚为20 mm，工作压力为2 MPa，压力容器表面裂纹的尺寸取a=3 mm，c=3 mm， 根据《在用含缺陷压力容器安全评定》(GB/T 19624—2004)，由其相关参数，计算出缺陷在失效评定图(FAD)上的评定点。运用压力容器仿真平台建立缺陷的安全衰减路径仿真如图4所示。

图4 表面裂纹安全衰减路径Fig.4 Surface crack safety attenuation path

根据图4，由式(17)可以求取裂纹缺陷在扩展到某一长度时的损伤程度D。上述材料的应变疲劳试验有[14]：

(19)

此金属材料的材料参数α=2.824，对于此含表面裂纹压力管道所受的等效载荷相当应变幅取Δε=7 600με，代入式(19)得Nf=20 000。将其与求得的损伤程度D代入式(18)可得裂纹缺陷的扩展寿命曲线如图5红色曲线所示。

图5 裂纹扩展寿命曲线Fig.5 Crack growth life curve

对于裂纹缺陷求剩余寿命通常使用Paris公式进行积分的方法求取剩余寿命，则有:

(20)

其中，对于上述材料其扩展速率[15]

da/dN=1.158×10-11ΔK3

(21)

故C=1.158×10-11，m=3，对于应力强度因子ΔK根据《在用含缺陷压力容器安全评定》(GB/T 19624—2004)可求得

(22)

式(22)中：fm、fb均可在《在用含缺陷压力容器安全评定》(GB/T 19624—2004)中查得，结合以上公式可求得利用Paris公式所得的裂纹扩展寿命，扩展寿命曲线如图5中蓝色线所示。

根据图5可知，利用两种方法所求得的裂纹扩展寿命在增长趋势上大体相同，在初始阶段裂纹扩展较缓慢，随着循环次数的增加逐步增快。

3.2 有限元分析验证

近年来，随着扩展有限单元法(XFEM)逐渐发展，主要使用XFEM来仿真分析裂纹的扩展。XFEM主要通过添加加强形函数以解决单元内部的间断性问题以及采用水平集法等方式追踪裂纹的位置，使得裂纹可以贯穿网格单元，从而在不重画网格的情况下，进行模拟裂纹扩展[16]。

图6 疲劳裂纹扩展速率随能量释放率G变化的曲线Fig.6 Curve of fatigue crack growth rate with energy release rate G

低周疲劳裂纹扩展中，疲劳裂纹扩展的萌生条件为

(23)

式(23)中：C1、C2为材料常数；ΔG为相对能量释放率。

当最大能量释放率Gmax满足Gthresh

(24)

式(24)中：ΔG为相对能量释放率；da/dN为疲劳裂纹扩展速率；C3、C4为材料参数。上述需满足Gthresh

图7 压力管道模型Fig.7 Pressure pipe model

如图7所示是对上文中的压力容器在ABAQUS中建立的三维模型及裂纹细节图，对于压力管道材料的扬氏模量E=205 GPa，泊松比v=0.3，屈服应力σs=680 MPa。利用ABAQUS扩展有限元方法对压力管道模型进行低周疲劳扩展分析，裂纹疲劳扩展过程如图8所示。

图8 裂纹疲劳扩展过程Fig.8 Crack fatigue expansion process

根据划分网格的大小可以计算出裂纹扩展长度。裂纹扩展寿命曲线与本文方法和Paris公式计算裂纹扩展寿命曲线对比如图9所示。从图9中可以得到，在裂纹扩展过程中，相比Paris公式计算结果,本文模型的计算结果跟扩展有限元仿真结果逐渐接近，在整个扩展过程中误差较小，故本文模型具有一定的准确性。

4 结论

结合低周疲劳损伤公式及裂纹安全衰减路径，给出了压力容器损伤程度和裂纹疲劳扩展寿命的计算方法，目前关于裂纹疲劳扩展寿命一般是基于Paris公式进行计算，运用新提出的计算方法与Paris公式进行对比的结果显示此方法能够有效地表示压力容器的损伤程度，预测裂纹的疲劳扩展寿命。

(1)根据裂纹长度和深度的几何关联变化关系并通过其变化模型在失效评定图上建立表面裂纹的安全衰减路径仿真图，准确地表示裂纹的扩展情况，利用裂纹衰减路径给出裂纹缺陷在任何尺寸时对应的损伤程度，利用损伤程度结合低周疲劳损伤方程计算出裂纹的扩展寿命。

(2)对某压力容器进行了算例计算和有限元仿真分析，结果显示，该方法能够有效地预测裂纹的扩展寿命，在预测压力容器裂纹扩展寿命有一定的实用价值。