数学实验：让学生在课堂中自由行走

曹珺

摘  要：在数学教学中运用数学实验，有助于学生建构数学概念、形成数学判断，进行逻辑推理。将数学实验引入数学课堂，能让学生发现结论、建构知识。通过数学实验，能转变学生的认知方式、思维方式、学习方式，从而不断提升学生实验力，发展学生的数学核心素养，让学生在数学课堂中自由行走。

关键词：小学数学;数学实验;数学课堂

数学实验是为了促进学生的数学思维、验证数学猜想、归纳数学规律、解决数学问题而采用的一种具有建构性、探索性、创造性的活动。在数学教学中运用数学实验，有助于学生建构数学概念、形成数学判断，进行逻辑推理。作为教师，要调动学生数学实验的积极性、开掘学生数学实验的创造性，让数学实验成为学生需要，成为学生学习动力。通过数学实验，转变学生认知方式、思维方式、学习方式。

一、数学实验，让数学概念直观可感

概念是学生数学学习的基石。理解概念，是学生数学学习的第一要务。但数学概念是抽象的、概括化的。数学实验，能让数学概念变得可感可触。在实验过程中，学生能经历概念形成过程，建立对概念的本质理解，形成对数学知识脉络的深刻洞察。布鲁纳认为，学生获得数学概念的过程是一个逐步深入、递进的过程。鲜明的数学实验，让抽象的数学概念得以形象地展示。通过数学实验，学生能完成对概念的初步建构。

案例1：苏教版六年级下册“反比例的量”。

实验背景：“反比例的量”这一数学概念，传统的教学方式，就是教师简单地、人为地出示大量的数量关系式，这些关系式有些是学生熟悉的，有些是学生不熟悉的。通过数量关系，抽象地概括数量关系的共同点，进而定义出“反比例概念”。这样的一种教学，是一种形式化的教学，学生干涩地发现数量关系共同点，又囫囵吞枣地接受反比例的概念。学生对成反比例的量的概念学习是被动的、模型化的、模式化的。笔者在教学中，引导学生用数学实验的方式探索，深化学生对概念的理解。

实验过程：为了让学生动态地、形象化地、直观化地认识成反比例的量的特质，笔者给学生提供了结构化的实验素材，包括网格纸、长方形纸。要求学生设计一个面积为24平方厘米的长方形，将这些面积为24平方厘米的长方形放置到网格纸中，让长方形的一个顶点和两条边重合。在此基础上，再给长方形的这两条边命名，一条边所在的射线为x轴，另一条边所在的射线为y轴，然后让学生顺次将长方形的另一个顶点连接起来。

实验效果：在实验过程中，学生找到了许多惊人的发现，诸如反比例图像和正比例图像不同，正比例是一条过原点的直线，反比例是一条曲线;构成的长方形长边（一种量）越大、宽边（另一种量）就越小，而长方形的面积保持不变（两种量的积）;连成的反比例图像，在x轴上越来越大，在y轴上就越来越小，反之亦然;反比例图像向上无限接近y轴，向右无限接近x轴，但永远不和y轴、x轴相交，等等。

美国数学教育家杜宾塞斯认为：“学生学习数学概念需要进行心理建构，只有在自身已有知识、经验的基础上，主动建构新知识的意义，才能达成真正的理解。”为了建立学生的“心理表征”，完成学生的“心理建构”。通过数学实验，将反比例的量演绎得可触可感，学生对“什么是反比例”“怎样的数量关系是反比例”等本质有了深刻的感知、理解。

二、数学实验，让数学判断直观可触

数学判断是学生数学学习的一种重要形式。数学判断是建立在数学概念基础上的，需要学生调动自我已有知识经验。瑞士教育心理学家皮亚杰深刻地指出，小学生的思维处于直观动作向具体形象过渡的阶段，抽象思维还处于萌芽、初始状态。对于一些数学概念、公式、定义、原理等的判断还依靠于具体形象。数学实验，能让数学判断直观可触。

案例2：苏教版二年级上册“求比一个数多（少）几的实际问题”。

实验背景：学生对“求比一个数多（少）几的实际问题”的解决障碍，往往集中于学生对“同样多”没有判断。这是因为，作为低年级学段的二年级，学生还不能自觉地进行比较。传统的教学，往往是教师画图，引导学生直观观察，其效果总是不尽人意。究其根本，是因为学生的思维仍然处于直观动作阶段。据此，我们用实验的方法，引导学生认识“同样多”，对“比一个数多（少）几”形成精准的判断。

实验过程：对“求比一个数多（少）几的实际问题”的解决，我们通过实验，让学生运用不同的方法让两个数量同样多。具体而言，就是摆出一定数量的圆片、一定数量的三角形塑料片，让学生想办法，让圆片和三角形塑料片同样多。这样，“同样多”之于学生，就不是一个静态的概念，而是一个动态的建构。有学生通过增加一些三角形塑料片，让圆片和三角形塑料片同样多;有学生通过减少一些圆片，让三角形塑料片和圆片同样多;还有学生通过移多补少，让圆片和三角形塑料片同样多。在实验过程中，引导学生进行比较，引导学生判断谁比谁多一些、多得多、同样多。

实验效果：通过实验，学生不仅认识了“同样多”“多一些”，而且提升了学习的技能，学生不仅会进行比较，而且认识到，要将两堆物体变成相同，相差数应当是移动数的2倍，移动数应当是相差数的一半。通过数学实验，学生不仅仅形成了静态的认知，更形成了动态的判断。深化了学生对数量关系的理解，让学生掌握了解决问题的基本思路、基本策略、基本方法。学生对两个数量是否同样多、是多一些还是多得多、到底多多少、少多少等问题不再模糊，而是获得了清晰的认知。

著名数学教育家G.波利亚深刻地指出：“抽象的道理很重要，但是要用一切办法使它们能看得见、摸得着。”为了能让学生的数学判断更理性、更自觉，可以通过数学实验，助推学生的数学判断，让学生掌握数学判断的方法。抽象的数学原理通过数学实验能变得可感可触。

三、数学实验：让数学推理直观可循

学生的数学推理是发展学生数学核心素养的重要手段。东北师范大学史宁中教授认为，学生的数学核心素养有三：抽象、推理、模型。数学概念的建立，主要依靠抽象。而数学推理则贯穿着学生数学学习的完整过程。小学数学教学，基于学生的年龄特点和认知规律，不宜采用那种纯推理的学习方式，而应将直观的教学与演绎教学结合起来。数学实验，能让学生的数学推理有迹可循。

案例3：蘇教版四年级下册“三角形的三边关系”。

实验背景：“三角形的三边关系”历来是学生认识三角形的难点。很多教师在教学中都会安排简单的“小棒实验”，即让学生用规格不同的小棒搭建三角形，从而让学生认识到“只有当两根小棒的长度之和大于第三根小棒的长度时，三根小棒才能拼接成一个三角形”。但是与此带来的一个问题是，由于小棒本身的宽度、厚度的存在，许多学生认为，当两根小棒的长度之和等于第三根小棒时，三根小棒也能拼接成三角形。显然，三角形的三边关系这一知识点是一种超验性的知识。据此，我们让数学实验成为学生数理推理的向导。

实验过程：对于“三角形的三边关系”这一超验性的数学知识，我们力图通过实验与推理相结合的方法，来廓清学生的认知。为此，我们分层次引导学生展开数学实验：首先是两根小棒的长度之和大于第三根小棒的长度;其次是两根小棒的长度之和小于第三根小棒的长度;再次是两根小棒的长度之和等于第三根小棒的长度。对于前两次的实验，学生都能达成共识。对于第三次实验，我们在学生产生歧义时，让学生用笔画来进行实验，学生通过实验能发现两根线段之和等于第三根线段时，这两根线段与第三根线段重合了。这样的实验，能为学生运用“两点之间线段最短”的推理教学奠定坚实基础。

实验效果：将数学实验与数学推理相结合，是小学数学实验教学应当采用的一种方式。数学实验，是一种经验性的数学学习，能为学生积淀丰富的感性认知。而数学推理，能让学生的数学思维得到磨砺。数学实验为数学推理提供了外援帮助，数学推理是数学实验的内援支撑。将数学实验与数学推理结合起来，能让学生的数学学习从感性走向理性、从疏漏走向严密。学生不仅知其然，更知其所以然。

将数学实验与推理融合，能让实验推动学生的推理，也能让推理反哺学生的实验。弗赖登塔尔说：“数学知识既不是教出来的，也不是学出来的，而是研究出来的。”数学实验不仅是学生获取知识的手段，更是帮助学生发现结论、找到“严格”证明结论的路径。在数学实验教学中，要引导学生用数学的眼光来观照、用数学的大脑来分析、用数学的语言来表达，从而不断提升学生的实验能力，发展学生的数学核心素养。