数学错解分类探析，提升学生解题能力

周文清

[摘  要] 数学解题中，错误是学生真实学习情况的反映，也是一种具有活力的可生成性资源，更是提高学生解题能力的最佳时机. 文章认为，需从思维定式、概念模糊、审题不清、忽视隐含条件等问题入手，深入挖掘铸错原因，对学生进行思路分析和思维品质的训练，方能提升解题能力.

[关键词] 错误;思维定式;概念模糊;审题不清;忽视隐含条件;解题能力

一些教师一味地追求课堂完美，为了追赶教学进度或其他原因，常常无视或不愿正视学生的错误，以至于错过了纠正错误的最佳时机，导致做错的题目一再犯错. 事实上，错误是正确的基石，更是通往成功的阶梯，学生的错误是有魅力的，是最朴实思想的暴露，而学生犯错的过程也是尝试的过程，更是创新的过程. 因此，我们需要采取主动应对的理念，充分利用错误，深入挖掘致错根源，并在错误上“大做文章”，由此可变“废”为“宝”，提升学生的解题能力.

从“思维定式”着手，在质疑中获得解题思路

思维定式是心理学领域的概念，也就是人们思考问题的一种思维惯性. 往往学生在运用某种思维方式解题获得成功后，易形成一个定式，面对新情境和新问题时，易忽视问题的特殊性，自然而然地习惯用老的经验去试一试，按照固定的思维模式去验证，从而即便是思路已明、方法已有，思维依然受阻，解题效果并不理想.

例1：已知a，b是两个不共线的单位向量，当（a+b）⊥（ka-b）时，实数k的值是________.

分析：因为（a+b）⊥（ka-b），所以（a+b）·（ka-b）=0，

则ka2+ka·b-a·b-b2=0，则有k-1+（k-1）cos〈a，b〉=0.

初读此题，不少学生觉得非常简单，从而下笔很快，而当解决到此处时，由于受到“几个方程只能求出几个未知数”的束缚，看到方程k-1+（k-1）cos〈a，b〉=0不仅有未知数“k”，竟还有“cos〈a，b〉”，从而不敢继续往前导致思维卡壳. 事实上，此处只要对方程左侧提取公因式“（k-1）”，就可化解困境，实现“柳暗花明”，生成以下解析过程：

因为（k-1）（1+cos〈a，b〉）=0，又a和b不共线，所以1+cos〈a，b〉≠0，所以k=1.

当然，若想使学生的思维摆脱已有“框框”的束缚，仅仅是去刷几道试题是不够的，还需在解题教学中挖掘各式错误，并将其视为重要的教学资源，鼓励学生大胆猜想，善于质疑，使其摆脱禁锢思维的枷锁，突破常规思维的局限，推陈出新，提升解题能力.

從“概念模糊”着手，在辨析中完善认知结构

数学概念是数学的精髓和灵魂，也是学生解题的依据，更是培养学生思维能力的良好素材，其重要性不言而喻. 清晰而准确地掌握数学概念是数学解题的前提，而数学概念具有抽象性的特征，不少学生易由于概念不清或概念错位而造成错误. 因此，教师一方面需强化学生对概念形式的记忆，选择一些易混淆的题目让学生去辨析，从而加深理解和认识;另一方面可以通过让学生对比正确与错误解答，在反思和辨析中明晰概念本质，完善认知结构.

例2：若x，y（均为正数）满足x+y=1，试求出z=x+■y+■的最小值.

这是一道易错问题，学生出现错误并非有心造成，往往是因为学生对概念认识形式的偏差，而自以为是得出的错误认识. 笔者很快罗列出学生的几种错误情形，将其和正解一起进行板演：

解法1：z=x+■y+■≥2×2=4.

解法2：z=xy+■+■+■≥2■+2■=4.

解法3：z=■+xy-2≥2■-2=2■-2.

解法4：z=x+■y+■=xy+■+■+■=xy+■+■=■+xy-2，

令t=xy，则有0

由f（t）=t+■在0，■上单调递减，且当t=■时，f（t）=t+■有最小值■，即当x=y=■时，z=x+■y+■有最小值■.

从以上正解和错解的同时展示开始，引导学生去辨析出以上4种解法中正确的那一个. 学生经过深入分析，很快得出仅有解法4正确，其余均是错误的. 与此同时，提出问题：“它们都错在哪里呢？”学生必然深挖错误原因，并一致认为是“等号成立条件”的认识模糊而导致的错误. 事实上，对于此题中基本不等式求最值的条件——“一正二定三相等”，笔者在概念教学中反复强调多次，学生也是熟记于心，但在运用时却总是错，原因在于机械的记忆使得学生对其来龙去脉理解得不够透彻. 以上解法1、2、3的出错均是因为遗忘了检验“等号”是否可取到，这样的错误不仅学困生易犯，不少基础较好的学生也常常会出错. 笔者通过以上解法的呈现引导学生在辨析和反思中达到此类错误的预防和根除效果，使学生深刻领悟到“基本不等式”的本质特征.

从“审题不清”着手，在诊断中养成细致思维的习惯

审题是发现正确解法的前提，是成功搭建解题思路的基础，细致的审题是解题成功的必要条件，缺乏审题训练的解题教学是不完整的，这一点需要得到广大数学教师认可. 审题不清这样的错误不仅仅小学生和初中生易犯，高中生也不例外，这些错误在心理方面被称为“视觉负迁移”，主要出错根源在于学生急于求成. 而我们作为教育者，需对如何审题进行深入研究和思考，并引领学生自我诊治，在深度辨析中养成细致思维的习惯，提升解题能力.

例3：如图1，在椭圆■+y2=1上找出一点，使得它到直线x-y+6=0的距离最小，并求出这个最小值.

错解：分析图形可知，当直线y=x+m与椭圆■+y2=1相切时，接近直线的切点即为所求. 据y=x+m，■+y2=1，可得4x2+6mx+3m2-3=0. 因为相切，所以Δ=-12m2+48=0，故m=2或m=-2（舍去）. 当m=2时，解方程组可得所求点为-■，■，最小值为d=■=2■.