巧用隐圆来解题

文 张大伟

我们常会遇到一些用常规方法不太容易解决或者解决的过程比较烦琐的问题。这些问题表面看上去与圆无关，但在仔细思考之后，我们会发现如果构造适当的圆，往往能促使问题转化，获得“柳暗花明”的效果。下面我们总结出两种模型，用于发现图形中隐藏的圆。

例1如图1，在四边形ABCD中，BA=BD=BC，∠ABC=80°，则∠ADC=________°。

【分析】由条件“BA=BD=BC”出发，一方面我们可以想到BA=BD，BD=BC，再利用“等边对等角”得到∠A=∠ADB，∠BDC=∠C，从而推出∠ADC=∠A+∠C，最后利用“四边形内角和等于360°”求出∠ADC的度数。另一方面，我们可以结合圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合）联想到利用圆来解决。点A、点D、点C在同一个圆上，根据圆周角的性质就可以求出∠ADC的度数。

解：∵BA=BD=BC，

∴点A、点D、点C在以点B为圆心，AB为半径的同一个圆上。

如图2所示，在优弧AMC上取一点E，则∠AEC=∠ABC=40°。

∵四边形AECD是圆B的内接四边形，

∴∠AEC+∠ADC=180°，

∴∠ADC=180°-∠AEC=140°。

例2如图3，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AB边上一点，且AE=2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，则四边形AGCD的面积的最小值为________。

【分析】经过分析，我们不难发现，四边形AGCD的面积与点G到AC的距离有关。由翻折可知GE=BE，那么我们可以确定点G是在以点E为圆心，BE长为半径的圆上运动，不难发现当EG⊥AC时，四边形AGCD的面积最小。再用锐角三角函数求出点G到AC的距离（也可以用相似），最后把点G到AC的距离代入之前表示面积的式子中即可得出结论。

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴CD=AB=3，AD=BC=4，∠ABC=∠D=90°，

根据勾股定理，可得AC=5。

∵AB=3，AE=2，

∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方。

设点G到AC的距离为h。

∵S四边形AGCD=S△ACD+S△ACG=AD×CD+AC×h=，

∴要使四边形AGCD的面积最小，即只要h最小。

∵点G是以点E为圆心，BE=1为半径的圆在矩形ABCD内部的部分点，

∴当EG⊥AC时，h最小，即点E、G、H在一条直线上。

由折叠知∠EGF=∠ABC=90°，

延长EG交AC于H，则EH⊥AC，

在Rt△ABC中，sin∠BAC=，

二、“定边对定角”模型

在Rt△AEH中，AE=2，sin∠BAC=，

∴EH=AE=，∴h=EH-EG=，

∴S四边形AGCD最小=。

以上两道例题，都有共同的特点：出现了公共端点和等长线段。我们由公共端点想到圆的圆心，由等长线段想到圆的半径，从而根据圆的定义“到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合”构造出辅助圆，得以巧妙地解题。这个模型，我们可以称之为“共端点等线段”模型。

例3如 图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4。点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC=∠PCB，求线段BP长的最小值。

【分析】根据已知条件可以推出∠APC=90°，根据“直角对直径”可以判断出点P在以AC为直径的⊙O上。连接OB与⊙O交于点P，此时PB最小，再利用勾股定理求出OB，从而解决问题。

解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，

∴∠ACP+∠PCB=90°。

∵∠PAC=∠PCB，

∴∠CAP+∠ACP=90°，

∴∠APC=90°，

∴点P在以AC为直径的⊙O上。

连接OB、BP、OP，则BP+OP≥OB。

当点O、P、B三点共线时取等号，即连接OB与⊙O交于点P，此时PB最小。

在Rt△CBO中，

∵∠OCB=90°，BC=4，OC=3，

∴OB==5。

∵BP+OP≥OB，

∴BP≥OB-OP=5-3=2。

∴BP最小值为2。

例4如图7，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，P为△ABC内一个动点，∠PAB=∠PBC，求CP的最小值。

【分析】根据已知条件可以推出∠APB=135°，从而确定点P在以AB为弦的⊙O上运动。连接OA、OB，可证四边形OACB是正方形，然后用勾股定理求出OC=。再连接OC、OP、CP，发现当点O、P、C在一条直线上时，PC有最小值。

解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，

∴∠CAB=∠CBA=45°。

∵∠PAB=∠PBC，∠CBA=∠PBC+∠PBA=45°，∴∠PAB+∠PBA=45°，

∴∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=135°，

∴点P在以AB为弦的⊙O上。

∵∠APB=135°，∴∠AOB=90°，

∴∠OAB=∠OBA=45°，

∴∠CAO=∠CAB+∠OAB=90°，

同理∠CBO=90°，

∴四边形ACBO为矩形。

又∵OA=OB，∴四边形AOBC为正方形，

∴OA=OB=1，∴OP=1，OC=。

当点O、P、C在一条直线上时，PC有最小值，∴PC的最小值=OC-OP=。

以上两个例题，都有共同的特点：∠P保持不变，∠P的对边长d保持不变，则∠P的顶点P的轨迹是圆弧。根据圆周角的有关性质，我们可以构造出辅助圆，这个模型可以被称为“定角对定边”模型。