函数的应用常见典型考题赏析

包玉兰 张文伟

题型一：二分法

二分法只适用于变号零点，二分法是求方程的根的近似值的一种方法。记忆口诀：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间。周而复始怎么办?精确度上来判断。

例1 用二分法求函数f(x)=ln(x+1)+x-1 在区间[0，1]上的零点，要求精确度为0.01 时，所需二分区间的次数最少为____。

题型二：函数零点的求法

求函数y=f(x)的零点通常有两种方法：一是令f(x)=0，根据方程f(x)=0 的根可求得函数的零点；二是画出函数y=f(x)的图像，其图像与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点。

A.{1} B.{-1}

C.{-1，1} D.{-1，0，1}

解：当x≤0时，由f(x)=x+1=0，可得x=-1；当x＞0时，由f(x)=log2x=0，可得x=1。故函数f(x)的所有零点构成的集合为{-1，1}。应选C。

题型三：函数零点所在区间的判断

判断函数零点(方程的根)所在区间的三种方法：①解方程法，当对应方程易解时，可通过解方程，确定方程是否有根落在给定区间上；②定理法，利用零点存在性定理进行判断；③数形结合法，画出相应的函数图像，通过观察图像与x 轴在给定区间上的交点来判断，或者转化为两个函数图像在给定区间上的交点来判断。

例3 函数f(x)=x+lnx-3 的零点所在的区间为( )。

A.(0，1) B.(1，2)

C.(2，3) D.(3，4)

解：(利用零点存在性定理)因为函数f(x)是增函数，且f(2)=ln2-1＜0，f(3)=ln3＞0，所以由零点存在性定理可得f(x)的零点所在的区间为(2，3)。应选C。

(利用数形结合法)函数f(x)=x+lnx-3 的零点所在区间可转化为函数g(x)=lnx 与h(x)=-x+3的图像的交点横坐标所在的范围。画出函数g(x)=lnx，h(x)=-x+3 的图像(图略)，由图可知f(x)的零点在(2，3)内。应选C。

题型四：函数零点个数的判断

判断函数零点个数的四种方法：①直接法，令f(x)=0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点。②定理法，利用零点存在性定理，要求函数的图像在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还要结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点。③图像法，函数f(x)的图像与x 轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数。④性质法，利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点个数。有1个，即函数f(x)的零点个数为1。

题型五：根据函数的零点求参数的范围

已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种方法：①直接法，根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围。②分离参数法，先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决。③数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后利用图像的交点求解。

题型六：复合函数的零点

求复合函数的零点，就是求解复合方程问题。一般地，由方程f[g(x)]=0 分解为f(t)=0 和g(x)=t 求 解，即 先 从 方 程f(t)=0中求t，再代入方程g(x)=t中求出x 的值。

例6 设函数f(x)=x2，若函数g(x)=[f(x)]2+mf(x)+m+3有4个零点，则实数m 的取值范围为_____。

提示：当x≤0 时，y=f[f(x)]-1=f(2x)-1=log22x-1=x-1。令x-1=0，则x=1，显然与x≤0矛盾，所以当x≤0时，y=f[f(x)]-1没有零点。

当x＞0时，分两种情况：

当0＜x≤1时，log2x≤0，y=f[f(x)]-1=f(log2x)-1=2log2x-1=x-1，令x-1=0，解得x=1。当x＞1时，log2x＞0，y=

f[f(x)]-1=f(log2x)-1=log2(log2x)-1，令log2(log2x)-1=0，可得log2x=2，解得x=4。

综上可知，函数y=f[f(x)]-1的零点个数为2。

题型七：函数零点中的新定义问题

对于这类问题，首先要分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条进行分析、验证、运算，使问题得以解决。

例7 用[a]表示不大于实数a 的最大整数，如[1.68]=1，设x1，x2分别是方程x+ex=4，x+ln(x-1)=4的根，则[x1]+[x2]等于_____。

解：因为x1，x2分别是方程x+ex=4，x+ln(x-1)=4的根，所以x1，x2分别是函数g(x)=x+ex-4 和函数h(x)=x+ln(x-1)-4的零点。

由于g(x)是单调递增函数，且g(1)＜0，g(2)＞0，所以1＜x1＜2。由于h(x)在定义域内单调递增，且h(3)＜0，h(4)＞0，所以3＜x2＜4。据此可得[x1]=1，[x2]=3，所以[x1]+[x2]=4。

跟踪训练7：设函数f(x)=1+[x]-x，其中[x]表示不超过x 的最大整数，若函数y=logax 的图像与函数f(x)的图像恰有3个交点，则实数a 的取值范围是( )。

A.[2，3) B.(2，3]

C.(3，4] D.[3，4)

提示：因为f(x+1)=1+[x+1]-(x+1)，而[x+1]=[x]+1，所以f(x+1)=1+[x]+1-x-1=1+[x]-x=f(x)，

即函数f(x)的周期为1。

当x∈[0，1)时，f(x)=1-x，画出函数f(x)在[0，+∞)上的图像，如图1 所示(其中函数y=logax 中的a＞1才满足题意)。