基本初等函数常见典型考题赏析

张德理

基本初等函数是高中数学的重要内容之一，同学们要牢固掌握其概念、图像与性质以及应用等。

题型一：指数函数的图像及应用

例1 函数f(x)=1-e|x|的图像大致是( )。

解：由f(x)=1-e|x|是偶函数，其图像关于y 轴对称，可排除B，D。

因为e|x|≥1，所以f(x)的值域为(-∞，0]，排除C。应选A。

由图像可知，函数f(x)在(-∞，+∞)上单调递增。

因为x＞x-1，且x-(x-1)=1，f(0)=1，所以要使f(x)+f(x-1)＞1成立，结合函数f(x)的图像可知，只需满足x-1＞-1，解得x＞0。故所求x 的取值范围是(0，+∞)。

题型二：指数函数的性质及应用

有关指数不等关系的比较大小问题，常化为同底或同指的形式，利用指数函数的单调性，或1，0，-1 等中间量进行比较。简单的指数方程或不等式的求解问题，主要是利用指数函数的单调性，要特别注意底数的取值范围，并在必要时进行分类讨论。形如y=a2x+b·ax+c(a＞0，且a≠1)型函数的最值问题常用换元法，即令t=ax转化为y=t2+bt+c 的最值问题，但要注意t 的取值范围。

题型三：对数函数的图像及应用

对数函数的底数的大小决定了图像相对位置的高低，无论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图像对应的对数函数的底数逐渐变大。在x 轴上方，图像从左到右相应的底数由小变大；在x 轴下方，图像从右到左相应的底数由小变大(无论在x 轴的上方还是下方，底数都按顺时针方向变大)。研究对数型函数图像的思路：一般从最基本的对数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换得到，特别地，要注意底数a＞1或0＜a＜1这两种不同情况。

例3 函数f(x)=|loga(x+1)|的大致图像是( )。

解：(方法1)函数f(x)=|loga(x+1)|的定义域为{x|x＞-1}，且对任意的x，均有f(x)≥0，结合选项可知选C。

(方法2)f(x)=|loga(x+1)|的图像可由y=logax 的图像向左平移1个单位，再把x 轴下方向上翻折得到的，结合选项知选C。

跟踪训练3：已知函数f(x)=|lnx|。若0＜a＜b，且f(a)=f(b)，则a+4b 的取值范围是( )。

A.(4，+∞)

B.[4，+∞)

C.(5，+∞)

D.[5，+∞)

题型四：对数函数的性质及应用

对数函数的单调性与底数a 的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论。求解简单的对数不等式问题，先利用对数的运算性质化为同底数的对数，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解，对于某些对数不等式问题也可以转化为相应的函数图像，利用数形结合法求解。解决对数函数性质的综合问题要注意三点：①分清函数的底数是a∈(0，1)，还是a∈(1，+∞)。②无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行。③一定要注意对数问题转化的等价性。

题型五：幂函数的图像与性质的应用

这类问题要借助幂函数的图像，理解幂函数的对称性、单调性，准确掌握幂函数的图像和性质是解题的关键。在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较。

题型六：二次函数的图像与性质

二次函数的图像与性质在高考中单独考查的频率较低，与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，考查二次函数的图像与性质的应用。

例6 图2 是二次函数y=ax2+bx+c 图像的一部分，图像过点A(-3，0)，对称轴为直线x=-1。现给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a-b=1；③a-b+c=0；④5a＜b。

其中正确的结论是( )。

A.②④ B.①④

C.②③ D.①③

题型七：函数图像的应用问题

利用函数图像可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数图像解决函数的零点问题、方程根的问题、有关不等式问题等，解决这类问题的关键是根据题意画出相应函数的图像，利用数形结合思想求解。

例7 已知函数f(x)=x|x|-2x，则下列结论正确的是( )。

A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，+∞)

B.f(x)是偶函数，递减区间是(-∞，1)

C.f(x)是奇函数，递减区间是(-1，1)

D.f(x)是奇函数，递增区间是(-∞，0)

由图可知，函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(-1，1)上单调递减。应选C。

提示：要 使 当x ∈(1，2)时，不 等 式(x-1)2＜logax 恒成立，只需函数y=(x-1)2在(1，2)上的图像在y=logax 的图像的下方即可。

当0＜a＜1时，显然不成立。如图4，当a＞1时，要使当x∈(1，2)时，y=(x-1)2的图像在y=logax 的图像的下方，只需满足(2-1)2≤loga2，即loga2≥1，解得1＜a≤2。

故实数a 的取值范围是(1，2]。应选A。