对数函数问题易错点指津

徐彩娥

对数函数是函数的重点内容之一，由于它涉及的知识面广、灵活性较强，因此同学们在解题时容易出错。

一、求对数型函数的定义域时考虑不全

例1 求函数y=logx+1(16-4x)的定义域。

错解：由16-4x＞0，解得x＜2，所以函数的定义域为(-∞，2)。

错因剖析：上述解法只考虑了真数的取值限制，却忽视了底数的取值限制。

友情提示：求对数函数的定义域，要注意满足两个条件：一是真数大于零，二是底数大于零且不等于1。

二、求对数函数单调区间时忽视定义域

例2 求函数f(x)=log2(2x+1)的单调区间。

错解：因为函数u=2x+1 在(-∞，+∞)上是增函数，而y=log2u 也是增函数，所以函数f(x)=log2(2x+1)的单调增区间为(-∞，+∞)。

错因剖析：上述解法忽视了函数的单调区间是函数的定义域的子区间。解答本题先要求出函数的定义域。

友情提示：在研究函数问题时，要优先考虑定义域，这是研究函数的最基本原则。

三、混淆对数函数问题的值域为R 与定义域为R

例3 已知函数y=log2(ax2+2x+3)的值域为R，求a 的取值范围。

错因剖析：上述解法没有理解对数函 数 的 定 义。当x ＞0 时，y=logax∈R，即当x 取遍大于零的全体实数时，相应函数值取遍全体实数。对此题而言，要使y∈R，则函数u=ax2+2x+3的值域必须包含全体正数。

友情提示：若函数y=logaf(x)

的定义域为R，只需真数大于零恒成立；若函数y=logaf(x)的值域为R，只需f(x)取遍一切正数。解题时，当二次项系数含有字母时，需要注意分情况讨论。

四、忽视对数函数真数大于0这一“铁律”

例4 已知y=loga(2-ax)在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是____。

错解：函数y=loga(2-ax)是由y=logau，u=2-ax 复合而成。由a＞0，可知u=2-ax 在[0，1]上是x 的减函数。由复合函数知y=logau 是增函数，所以a＞1。

错因剖析：上述解法虽然考虑了对数函数与一次函数的复合关系，却忽视了真数必须大于零这一先决条件。

正解：由a＞0，可知u=2-ax 在[0，1]上是x 的减函数，由复合函数知y=logau 是增函数，所以a＞1。因为x 在[0，1]上时y=loga(2-ax)有意义，u=2-ax 是减函数，所以当x=1时，u=2-ax 取最小值为umin=2-a＞0，所以a＜2。综上可知，a 的取值范围是(1，2)。

友情提示：在求复合函数的单调性问题时，不仅要结合内外函数的单调性，更要注意它们本身的定义域。