定积分在初等数学中的应用

马红晶

【摘要】定积分是大学数学的重要组成部分，在许多问题的解决方法中是必不可少的.在几何学方面，定积分也有着广泛的应用.也正是因为这些应用，才推动了积分学的不断发展和完善.本文将在高等数学理论的基础上，介绍用定积分表示具体问题的方法——微元法.另外，定积分在初等数学中也有着良好的运用.本文研究了如何用定积分推导一些初等数学中的面积与体积公式的问题.

【关键词】定积分;面积;体积;几何应用

一、问题的提出

在小学数学的学习中，圆的周长和面积公式就已经深深扎根于学生的心中.一直到初中乃至高中，学生直接使用这些公式来解题得到了很大的便利.那么圆的面积公式和周长公式到底是如何推导出来的呢？下面我们来用定积分的方法解决这个问题.

二、 微元法

我们来回顾一下如何将曲边梯形的面积A表示為定积分，步骤如下.

经过这四个步骤的层层推导，我们就可以将所求“曲边梯形面积A”表述成定积分的形式，由此即可以得到如何用定积分来表示所要求的量U，有以下三个步骤：

我们把这种方法称作微元法，此方法被广泛应用于许多问题中，给我们解决问题带来了很多便利.

三、旋转曲面的面积

设平面光滑曲线C的方程为

综上所述，圆的面积公式和周长公式都可以用定积分进行推导，这扩展了我们的解题思路.

2.球的表面积公式和体积公式.

用定积分可以计算出旋转曲面的面积和旋转体的体积，这恰好可以在推导球的面积公式和体积公式中得到良好的运用.下面我们就来研究这个问题.

五、小结

理论与实际总是密切联系、互相促进发展的，没有无理论的实际，也没有无实际的理论.高等数学知识不仅注重对其各项知识点的了解与掌握，更注重用这些理论知识来解决实际生活中遇到的种种具体问题.定积分是一种实用性非常强的数学方法，它的重点是将具体问题表示成定积分，这就需要灵活掌握定积分的意义与分析方法，这样便可以将一些具体问题中的几何问题变成有关定积分的计算问题，在这个过程中的转化为我们解题提供了巨大的便利，同时也省去了很多复杂的过程，因此定积分在解决实际问题中得到很广泛的应用.

本文围绕着定积分在初等数学中的应用，给出了用定积分来解决在初等数学中所解决不了的问题，也提供了一种新的思维方式与解题方法，这既使得对高等数学知识与思想的掌握与理解更深一筹，也在初等数学和高等数学中架起了一道衔接的桥梁，充分体现了高等数学的优越性.

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