高三数学微专题复习的实践与思考

张俊

摘要：微专题复习是一种新型的复习方式，是立足于学情、考情的切口小、角度新、针对性强的微型复习专题。探索微专题与大专题复习的有机融合，可以促进学生深度学习，教师专业成长，实现深度复习，提高教学质量。

关键词：微专题;高中数学;深度复习

复习是高三数学教学的主旋律，它通过对已有知识的回顾，实现对高中数学知识的重建构、再完善，进而实现学生学习能力和核心素养的再提升。传统的高三数学复习一般按知识点、思想方法等进行分类，实施大专题复习。这种复习方式虽然能很好地凸显知识的综合性和方法的灵活性，但因话题大、涵盖广而导致复习的精准度不够，深刻度不足，从而阻碍了复习教学的深度展开，影响了复习的效果。因此，在二轮复习中，很多地区采用大专题复习和微专题复习相结合的方式，有效地促进了复习的深度展开。

一、微专题的内涵

传统的二轮复习方式，往往是依赖一本资料，按照“函数与方程”“函数与导数”“三角与向量”“数列综合题”“解析几何定值问题”“数学思想方法”等内容按部就班地进行。不少内容与一轮难免重合，使学生产生审美疲劳。如此这般的复习，甚至可能导致二轮复习后，学生学习成绩下滑的现象。

二轮复习不能简单、机械地重复知识，要加强数学知识的内在联系，重视对知识进行整理和加工，构建分析解决数学问题的思维模型。在整理知识过程中查漏补缺，在加工知识过程中加深理解，在重组知识过程中理清系统结构，在应用过程中掌握方法、提高能力。

复习的初衷是为了提高学生的学习能力，以期他们在高考中能取得佳绩。那如何才能帮助学生补齐短板，提高能力呢？当然要基于学生的学情，服务于学生的需要。高考就如一场战役，复习的内容理应剑指高考，把准学生的学习动态，找准存在的问题，有针对性地进行复习。复习效果的好坏，最关键的因素是教学中选择什么内容或材料来复习，其次才是怎么教的问题。教师只有知道考什么，学生有什么、缺什么，可能提升什么，才知道该干什么！

微专题，就是让师生知道该干什么的。它主要是指立足于学情、考情，选择一些切口小、角度新、针对性强的微型复习专题。不求面面俱到，只求某一点上有所突破，对学生进行点穴似的指导。强调围绕主干，从细微处入手对知识进行拓展，不注重知识的覆盖面，但求知识的分析和拓展深入而透彻。微专题要以基础知识、基本技能为载体，寻找学生思维的提升点，提升学生的思维能力、分析问题和解决问题的能力。

二、微专题的特征

微专题是相对于大专题而言的，它的特色在于一个“微”字，因为微，所以更加灵活，可以微而致准、微而致精、微而致透。因此，它的特征，可以总结为四个字：小、准、精、透。

1.    小

微专题的“小”指切口小、容量小、内容专一，就某一类问题深入探讨，不要长篇大论，无需完美结局。比如“椭圆过定点问题”就显得大，容易导致教学目标落空，可以只研究“椭圆内张直角的弦过定点”的问题，去研究它的解法、拓展、迁移、变化。在此基础上，教师可以再安排一个微专题，对几种“椭圆内过定点的问题”进行方法的比较，寻找共性，发现差异。微专题的容量不要太大，这样可以在教学中适时穿插，体现其灵活机动的特点。

2.    准

微专题的准就是向高考靠拢，围绕高考中考查的重要知識、方法加强火力、反复锤炼，明显与高考无关联的内容要果断放弃，不做无用功。如用放缩法证明递推数列不等式，江苏高考2008年后从未有涉及这一点的题，要弃如敝屣。“阿波罗尼斯圆”高考多次涉及，内容思想本身也很经典，值得轻吟浅唱、低回徘徊，安排一个相应的微专题便是合适的必要的。当然，准是相对的，内容是招式，思想是内功，教师更应在那些数学思想方法富集的地方安排微专题，而不应受内容形式的束缚。

3.    精

微专题的“精”主要指所选的内容、所举的例题要删去枝节，瞄准具体的点精准打击，不要牵扯过多，影响主题。比如求数量积的方法很多，常见的有定义法、基底法、坐标法、极化恒等式法。教师可以围绕一种方法安排微专题，不要忽而这种方法，忽而那种方法，让学生无所适从。在学生熟练掌握几种方法后，再精选例题安排专门的微专题让学生就题目的不同特点选择不同的方法，提高选择合适方法解决问题的能力。又如一道解析几何大题有三问，教师不能全部拿来，要有所取舍。不能让学生将时间浪费在一些无谓的操作上，一定要就聚焦于某一点上，全力打击，力求破关。针对学生运算能力不过关的问题，可以搜集数列、解析几何、函数中遇到的各种计算问题，删除其枝节杂叶，只将学生运算有障碍的式子拿出来，通过微专题“常见运算技能”的复习，穷尽其计算技巧、算法过程。

4.透

微专题的“透”指能够揭示问题的实质，将某一类问题研究透彻，使学生对这类问题能有一个清晰而透彻的认识，也使学生的学习能由横向上的“细致”走向纵向上的“深入”。比如“极值点偏移”问题经常考查，要将这类问题研究透，从根源上一挖到底，让学生看清本质，以后再遇到相关问题时，无论其如何伪装，都可顺利解题。

三、微专题内容的选择

微专题因其“小、准、精、透”，所以能解决高三数学复习中的很多小问题、真问题。那么，微专题的选题从哪里来呢？

1.考试“高频点”

复习的最终目的是为了高考，关注考情自然要放在首要位置。因此，每位教师都要明确“考什么”“考多难”“怎样考”，要多偏心于高考中多次亮相，出镜率高的内容。比如考查隐性轨迹的问题在高考中反复出现，通过“隐圆问题”这个微专题能够帮学生建立用轨迹思想处理问题的意识，再遇相关问题时自然能手到擒来。又如从数列的单调性着手思考问题，是降服不少数列难题的法宝，但学生对它缺乏系统的认识、运用的意识。适时补充微专题“数列的单调性”，帮助学生全面深刻地掌握这种考察数列的方法，可迅速提升学生解决数列难题的能力。

2.学习“困难点”

教师要关注学情，了解学生的需求，对症下药。比如由于复合函数y=f[g（x）]+a（a∈R）的零点问题内容抽象、形式复杂、题型灵活，很多学生难以把握，不知从何下手，见之则惧、遇之则让，成为学生学习的拦路虎。教师可以安排一个微专题“复合函数的零点问题”，通过专项突破、系统研究助学生一臂之力，跨越难关。又如求max{（fx），g（x）}或min{（fx），g（x）}的最值问题，因其形式新颖、符号云集成为不少学生学习的噩梦，在复习中安排一个微专题“双重最值问题”就很有必要了。

3.能力“增长点”

高中数学的很多内容以内隐的形式存在，需要学生具备相应的联想、发现、探索的能力才能敲开它们的大门。对于这些能促进学生能力增长的点，教师要及时示范，给学生提供方法指导。比如函数的奇偶性揭示了一类函数的重要特性：关于原点对称或关于y轴对称，但如果仅限于此，并不能应付千变万化的问题。其实函数奇偶性的研究打开了一扇研究函数对称性的窗户，由特殊的对称联想到一般的对称不仅自然而且必要。安排一个微专题“函数奇偶性的联想”，教师带领学生由特殊到一般，由具体到抽象，由此及彼地展开探索，不仅可以让学生获得知识，更能提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。

又如对于函数，如果能画出它的图像，题目难度往往陡降，但課本中只是零散地研究了常见的函数图像，并没有系统讲解作函数图像的一般方法，因此，这是提升学生能力的一个绝佳的点。设置微专题“怎样作新函数的图像”，通过常见函数图像作图规律的研究，使学生能够相对准确地画出新函数的图像。如试题：已知函数（fx）=1-a（a∈R，x>ex  x0），存在实数m，n，使得（fx）≥0的解集恰为[m，n]，则实数a的取值集合为      。直接硬碰这个题目很不容易，但注意到（fx）       ≥0即x≥a，画出函数exy=x的图像，何时解集会是闭区间呢？观察可见当exy=a与y=x有两个交点时即满足要求。这样问题就转化为直线y=a与y=x有两个交点时求a的范围。只要能准确地画出函数y=x的图像，就可轻松地得到答案是（0，1）。即便对于一些不便以图代证，需要论证的试题，也可以先通过画出它们的图像来寻求思路或发现结论。如试题：设函数（fx）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a为实数，若g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，试求（fx）的零点个数，并证明你的结论。这道题的难点是分类标准的确定，由于（fx）=0ólnx=a，如果能准确地画出函数y=lnx的图像，通过观察直线y=a与其交点的个数，可迅速确定分类的标准，为问题的最终解决奠定基础。

4.    易错易混点

高中数学中有不少学生错误频率很高的内容，教师可以将学生的错误化为教学资源，设置相应的微专题，充分发挥错误的教学功能。比如导数题中有不少涉及单调性的问题，求函数单调区间、在区间上函数单调或不单调求参数范围等。这些问题常讲常错，因此针对学生的知识漏洞、思维缺陷，安排微专题帮助学生厘清本质，掌握处理策略就很有价值了。

高中数学中还有相当多的内容外形相似却又不尽相同，学生学习时极易混淆，对于这部分内容，也是设置微专题的重点区域。比如不等式的恒成立、能成立、恰成立问题，函数的自对称、函数间的对称问题等。通过微专题正本清源，揭示本质，明晰异同，避免错误的反复发生。

5.    方法与技巧

有些重要的解题方法技巧散落在不同的问题中，学生没有意识去提炼、整理它们。对于这些内容，也很有必要安排微专题。比如换元法、待定系数法、向量等式代数化的策略等。

6.    知识的整合

微专题，不一定是具体的知识、技能、方法，也可以是知识网络、思维导图的构建。通过微专题复习，跨越章节边界，将散落的知识按照其内在的逻辑联系将其系统地整合、串联起来，实现知识间的融会贯通。

微专题选题还可以是学生做错的片断，会而不对、对而不全或者有待优化的问题，或者是课本题目的发展、课本思想的提炼、高考真题的比较、试题解法的优化、问题的推广、书写规范性的研究等。只要教师沉入教学，善于发现，就会开发出更多的微专题。

四、微专题设置的注意点

1.    微专题与大专题要相互融合

微专题与大专题两者之间并不对立，微专题是大专题复习时的有益补充，不能取代正常的大专题复习。大专题更系统、涵盖面更广、融合度更高，教学中也更容易规划安排。针对大专题复习中话题易散、目标易空、研究难深入的弊端，可以灵活机动地穿插微专题。微专题与大专题只有相互融合，才能发挥最大效益，最终达成深度复习。

2.    微专题的选题要有针对性

作为大专题复习的有益补充，微专题选题的针对性怎样强调都不过分。主要包含三层含义：（1）考虑学生的实际，有所为，有所不为;（2）准确分析学情，找到真问题;（3）针对暴露问题，提高有效性。为了确保针对性，就要科学地调查，统计分析学生测试卷中典型问题的正确率与错误的情况，对“学生缺什么”以及“学生缺到什么程度”了如指掌;为了确保针对性，就要认真研究考试说明、高考试题，落实高考试题的导向作用。总之，只有在调查研究的基础上编制的微专题才更有针对性。

3.    微专题的复习要突出学生的深度参与

微专题复习中，教师往往是微专题的设计者，而忽视了学生的作用。一方面，要突出学生的主体地位，教师是指引者、激励者，构建以“学”为中心的课堂;可以依据微专题的逻辑主线，让学生表达参与、活动参与、思维参与，实现学生的深度学习，最终达成深度复习。另一方面，教师要积极鼓励学生自行编制相应的微专题讲义，在思考中进步，在写作中提高，在交流中成长。

4.    微专题的编制要发挥集体力量

编制微专题是一项浩大的工程，每位老师都有自己擅长的部分，教学中要取长补短，精诚合作，实现共赢。

微专题复习以其独有的“因微而准、因微而细、因微而深”的优势成为近年流行的复习方式。教师要积极地开展微专题研究，探索合适的微专题复习模式的构建，促进学生的深度学习，实现深度复习的目的，催动师生的共同成长。

【责任编辑 郭振玲】