两类均值不等式的简单应用*

周思宇

(湖南省长沙市周南中学，410005)

极值点偏移问题是近几年高考的热点问题,求解此类问题的一个重要工具就是指数和对数均值不等式.本文借助几类典型例题加以说明,希望能对读者的高考复习提供帮助.

一、两个均值不等式

1.对数均值不等式

结论1对任意的a，b>0(a≠b),有

证明不妨设a>b(a

2xlnx-x2+1<0.

2.指数均值不等式

结论2对任意实数m，n(m≠n)，有

证明在对数均值不等式中,令em=a、en=b,则m=lna，n=lnb,从而可得指数均值不等式.

评注需要注意的是，在实际解题过程中，凡涉及这两类不等式的，都需给出证明，以确保考试不被扣分.本文在应用举例中都省略了该过程.

二、应用举例

例1已知函数f(x)=alnx(a>0),若A(x1,y1),B(x2,y2)(0

再令h(t)=tlnt-t+1(t>1),则h′(t)=lnt>0,h(t)在(1,+∞)单调增,h(t)>h(1)=0,故t-11)成立.

综上，得证.

2.“f(x1)±f(x2)”型问题

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:

(2)若f(x)存在两个极值点,由(1)知a>2.

3.极值点偏移问题

例4若函数f(x)=lnx-ax(a为常数)有两个不同的零点x1，x2,请证明:x1x2>e2.

证明借助a作为媒介,构造对数均值不等式.