利用勾股定理解决实际问题

毛小红

摘 要：勾股定理是初中几何教学中的重点知识，其对于学生空间想象能力、抽象思维能力、数学综合素养的培养都有着重要影响。而且，勾股定理与现实生活之间也有着比较密切的关联，其可以为很多实际问题的解决给予科学辅助与有效驱动。可以说，利用勾股定理解决实际问题，已成为初中几何教学中必须关注的重点内容与核心议题。因此，教师在勾股定理教学中，应该加强对于其与实际问题之间关联的融合与渗透，以促使学生在灵活使用勾股定理来解决实际问题中获得认知提升、素养增强、能力蜕变。

关键词：初中几何;勾股定理;利用;实际问题;解决

在诸多实际问题中，涉及的旗杆问题、梯子问题、最短路径问题、吸管摆放问题等，都可以利用勾股定理获得精准而完美的解答。然而，很多初中教师在进行几何教学时，往往更侧重对于勾股定理理论的讲授与灌输，对于学生实践探索应用、实际问题解答等综合数学素养的渗透少之又少，以致勾股定理在学生实际生活中作用的发挥大打折扣。殊不知，数学的内涵与主导便是对生活现实问题的解答，对学生数学应用能力的培养。一方面，学生在应用勾股定理解决实际问题的过程中，其对于勾股定理的理解、认知、学习将会更加充分、到位、深入、有效，数学教学的效率与质量也会得到显著提升。另一方面，学生在借助勾股定理解答实际问题的探究中，其数学思辨能力、实践能力、思维能力、想象能力等基本数学素养将会更加完备、健全、精准、科学，对应的学习兴趣、探究热情、发展夙愿自会被无限激活与充分实现。因此，教师在进行初中勾股定理教学时，应该加强对勾股定理的指导与探究，并竭力使勾股定理与实际问题紧密结合起来，为促使学生数学综合素养培育而给予辅助，为确保数学教学效率提升而奠基铺路。

一、加强对勾股定理内涵的探究，使其更好服务于实际问题解决

勾股定理是反映客观世界基本规律的一条重要结论，其自提出到投身实践应用经历了比较漫长的历程，有着比较悠久的历史。而且，随着人们对勾股定理认识、理解、使用的深入，其作用和价值也正在被无限开掘。但是，对于初次接触勾股定理的初中学生而言，由于其数学思维、意识、能力、素养正处于培育期、塑造期、发展期，着使得教师在勾股定理教学指导中，应该从学生认知实际入手，通过对勾股定理内涵的探索与分析，使学生充分感知、体悟、认识勾股定理的由来过程、具体作用、实践功能等，进而积极投身实际问题解决。一是探索勾股定理由来，为实际问题解决给予理论铺垫。教师可以通过对直角三角形的引入，让学生以直角三角形各边为边长作正方形，并在观察、探究、计算、分析中得出：“以直角边为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积”这一结论，进而使学生对勾股定理由来过程获得深入理解。随后继续进行推导，如果一个直角三角形三边分别为a，b，c（斜边），那么这个直角三角形的面积则为a2+b2=c2。同时，在实际应用中，教师必须明确：（1）勾股定理仅限于直角三角形;（2）必须判别清楚直角边与斜边。二是凸显勾股定理作用，使其深度应用于生活实际问题的解答、分析、解决。教师可以在学生充分理解勾股定理内涵的基础上，适时引入实際问题，并组织学生开展分析探究，使学生在勾股定理与现实问题的关联、过渡中更好服务于学生认知发展。

例如，教师结合几何应用题：已知旗杆顶端到地面的垂直距离是比绳长多1m，小刚将旗杆下端的绳子斜向拉拉开5m后，发现下端刚好接触地面。请问旗杆高度是多少？这便是勾股定理应用中最典型的“旗杆问题”。对此，教师可以通过组织学生画图、想象、解答的方式，让学生自主构建“斜边长为5m，一直角边长为1m。另一直角边长为xm”这一数学模型，借助具体图示，进行计算，得出：x2+52=（x+1）2，进而通过计算得知旗杆长度为12米。

二、凸显对勾股定理外延的拓展，使其充分作用于实际问题探析

通过对勾股定理深度分析发现，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。这一结论便是勾股定理的逆定理，其对于学生判别直角三角形有着重要帮助。因此，教师可以通过对勾股定理及其逆定理的适当拓展，使学生在利用勾股定理解决实际问题时思路更加广阔，思维更加灵活，导向更加宽泛。一方面，可以通过对一些特殊勾股定理数据、问题的总结与整合，让学生在面对基础性实际问题时灵活应对。诸如3，4，5;5，12，13;8，15，17等一些常用勾股数的识记;若a2+b2>c2，则△ABC是锐角三角形;若a2+b2

三、确保对勾股定理特性的发挥，使其有效体现于实际问题应用

勾股定理及其逆定理在表述上比较简单，而且较为抽象。但是，其应用于实际问题的解决则有着更多要求，更高标准。因此，教师在指导学生利用勾股定理解决实际问题时，应该明确其特点与核心，切忌由于学生理解不深入、认识不精准、应用不规范而出现错误，影响其判断及分析。一是遇到非直角三角形时，可以指导学生利用做辅助线的方式，即时构建直角三角形，进行实际问题分析。二是利用勾股定理对应的直角三角形，构建对应数学方程，在数形结合中找寻问题解答思路与方向。三是必须明确直角三角形的直角边与斜边，切忌因为混淆而出现谬误。四是学会对勾股定理及其逆定理的转换与灵活使用，以避免由于生搬硬套而影响学生探究与认知。随着学生对勾股定理理解、认识、分析的深入，其利用勾股定理解决实际问题的能力也会得到切实提升与全面增强。

四、结论

总之，将勾股定理应用与实际问题解决，既有利于数学教学效率的提升，又有助于学生素养的培育，而且也是新课改导向下初中几何教学的必然趋势。教师在利用勾股定理解决实际问题的教学指导中，应该以学生实际与教学需要为基础，加强对勾股定理内涵的拓展、外延的延伸，并将其与现实生活紧密关联起来，以促使学生在充分学习勾股定理、深度利用勾股定理的同时实现发展与提升。同时，针对不同学生之间的差异性与个性化特点，教师在教学措施优化、教学方式革新、教学路径拓展上也应该加强研究与探析，进而在确保勾股定理作用得以最大化发挥的同时，使其为学生解决问题能力提升，数学素养塑造而提供强劲助力，诸如新鲜血液。

参考文献

[1]周飞玲.浅析勾股定理在生活中的应用研究[J].数学学习与研究，2018（22）：136.