基于几何直观的初中代数教学设计研究

李海英

摘 要：直观想象是《新课标》中所提出的六大核心素养之一。《新课标》给出的定义是：借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。以几何直观作为解决代数问题的手段，促进学生对于代数知识的理解程度，增加学生的直观想象力，因此本文将探讨其在初中代数教学中的应用。

关键词：初中数学 几何直观 代数教学

一、几何直观在代数中的表现形式

1.方形图（切割补充法）

切割补充法即利用现有图形对其进行切割补充成为我们熟知的图形，这样就可以便于计算和理解。任何一个数学概念、公式及其定理都能找到一个原型。在《从面积到乘法公式》这一节中，教材利用了这一方法对乘法公式进行了直观的分析和推理。培养学生能够采用割补的方法，丰富学生的想象力和空间构造能力。

例如：a2-b2=（a+b）（a-b）这一个式子中，学生可以画一个边长为a的正方形，再取其中边长为b的正方形。可以观察到，大的正方形有两条边变成了a-b，可以割下一个长宽为（a-b）和b的小长方形，补到剩下的大长方形上，这样就很明显的能够观察到图形的变化，式子之间的关系也显而易见了。

2.数轴设计法

数轴是数学教学中最重要的一个手段，在建立数轴时，数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可。数轴可以描述相反数、绝对值，在遇到这类方程时，可以利用数轴把式子用它表示出来。利用这样的几何直观来解决复杂的方程式，会让问题简单化，学生更容易理解和解决问题。例如求|x-1|+|x+2|+|x-3|+|x-5|的最小值，则在数轴上找到1、-2、3、5几个值。求1、-2、3、5之间距离之和最小的值，我们可以发现从-2到5之间的距离是定值7，从1到3之间是定值2，此时它们之间的距离之和最小，所以3≥x≥1时有最小值，最小值是9。

3.函数图像

函数图像是初中数学最核心部分[1]，有很多同学因为函数的难懂会对数学失去信心，所以函数图像的表示和应用就至关重要了。借助函数图像，学生可以更加深入了解到函数的表达和解决方法，而不再是“闻面不识人”的现象。例如一次函数对应的函数图形就是直线，二次函数对应的函数图像就是曲线，反比例函数对應的函数图像就是双曲线。用一个例子来表示，已知点（1，y1）（-2，y2）（1/3，y3）在函数y=1/x上，比y1，y2，y3的大小。这个例子有两种思路，一种是普通的数值代入，把每一个横坐标代入到式子里面进行计算，另一种是函数图像表示，画出原式的函数图像，把横坐标标在图像上，这样可以直观地看到三个未知数的大小比较情况。让学生能够在自己的脑中形成一个可视化的图形，把函数问题图形化，让复杂的问题简单化。

二、引导学生结合图像思考代数问题

对于初中学生的代数学习，教师如何引导学生通过图像来表示，又该如何让学生发挥空间想象力思考代数问题，值得思考和探究。教师不仅仅要教会学生如何做，更重要的是要引导学生主动去想，发挥学生的主观能动性，更多的让学生去思考和想象[2]。首先，教师应该从例题入手，在课堂上，以教材上的例题为示范，给学生展示几何直观的表达方式，让学生能够了解其中的变化和思路，再让学生去做。让学生自己去体会如何经过图形化的处理让代数问题变为图形问题的过程。其次，要学会让学生自主地去思考和转化，在做一些课后题时，可以让学生把图形画出来，培养学生的学习习惯，能够动手画出来再去想，这样的思考方式能够让学生养成习惯，在遇到难题时也能够迎刃而解。最后就是图形和代数的衔接，在实际学习中，很多学生能够解决代数问题，也能够把代数问题转化为图形问题去解决，但是却不了解二者之间的关系，面对难度更大的题时，就很容易出错。这样的情况就需要教师在转化的过程中对学生进行引导，让其能够将对应问题与图形连接起来，看到这样的式子就能想到这样的图形。进而就可以养成一种几何直观的思维方式。

例如常见的函数问题，两个一次函数相交于一点，问如果要使y1>y2，x的取值范围是多少。这样的题目经常可以看到，但也经常有学生做错。如果把这样的一个问题以几何直观的方式表达出来，一切就显得非常容易了。只需要把两个一次函数对应的图像画出来，标出交点，观察在交点前后，两个一次函数中y的大小变化即可看出。

三、重视实践操作，重构几何模型

在学习代数的过程中，常常会发现，如果一个代数问题，直接对其进行处理，则会变得更加复杂和难以求解[3]。但是如果我们能够掌握上述的几种几何直观的方法，用实践的方法，在原有的图形基础上进行变化，这样通常会使那些看似难以处理的代数问题变得更加简单了。例如在研究立体图形的表面积时，例如圆柱、圆锥、圆台这样侧面为曲面的立体图形，直接求解很难得到答案，通常我们会把它展开变成一个平面图形，这样就可以得到一个更为熟悉的图形。以圆柱为例，最后只需要求两个圆和一个矩形的面积就好了。矩形的长，就是圆的周长，矩形的高就是圆柱的高。

几何直观不是一蹴而就的，它需要学生能够一次次的探索和发现，通过自己的实践来找到最好的解题方法。把那些看起来很抽象的、毫无规律的代数问题变换成简单的图形问题，并从中寻找最快最简便的方式来解决。也许只是画一条辅助线，也许只是建立一个坐标轴，也许只是把不规则图形变成规则图形，但其中所蕴含的是极其巧妙的数学思维，学生多去思考、多去实践，才能够把更多的问题解决掉。不能让学生觉得建构几何直观模型是浪费时间，教师应当在其中引导学生，让学生再次遇到数学难题时能够不慌不乱，会设计、会思考、会动手、会动脑。

参考文献

[1]惠群.几何直观在初中代数中的表现形式及教学策略[J].数学之友，2014，（16）.

[2]孙露薇.中学数学代数领域的几何直观——从化归的视角来看[J].课程教学研究，2015，（10）.

[3]徐世白.从整体出发认识教材，从认知出发设计教学—以“对数运算”的几种教学设计为例[J].中学数学，2015，（9）.