基于“证据”：提升数学思维的“能见度”

王江

（江苏省南京市北京东路小学阳光分校，210042）

摘要：基于“证据”的教学有以下特点：让学生的思维留下痕迹，让教学过程的优化有“证据”，让每一位学生都发展。基于“证据”的教学是教学设计优化的重要依据，是教学“减负增效”的新路径，是课堂深度变革的新载体。基于“证据”的数学教学，更加强调“真实的学习”，一般包含收集“证据”、分享“证据”、关联“证据”、补充“证据”四个步骤。

关键词：证据小学数学可视化思维进阶学力提升

一、概念明晰：什么是基于“证据”的教学

与传统的“经验主导型”教学不同，基于“证据”的教学不再“凭经验”，而更加强调“循证据”，即通过多种方式，如课堂前测、小型访谈、作业批改、作品研读等，尽可能利用事实性材料展现学生思维的过程，让学生思维的过程显性化、可视化。在此基础上，教师可以准确把握解学生的真实学情，从而确定更加合理、有效的教学决策。它通常有以下一些特点：

（一）让学生的思维留下痕迹

在传统课堂教学中，教师往往凭借已有的经验，对学生的学习情况进行一定的预设，再按照教材的编排顺序按部就班地展开教学，教学决策往往会出现偏差。基于“证据”的教学，需要教师引导学生通过写一写、说一说、画一画、做一做等多种方式，尽可能原生态地呈现思维的过程，使得原来隐性的思维过程可视化。这些都有利于教师准确捕捉学生的学习起点，有针对性地展开教学。这样的课堂，就从原先的关注“教学进度”走向了关注“学生学习”。

（二）让教学过程的优化有“证据”

基于“证据”的教学，重在“分析”和“调整”。它主要表现在：教师在课前通过前测、问卷等方法获得数据，分析得到班级的真实学情，然后优化原有的教学过程;又或者是教师在课上充分展示学生不同的想法，通过倾听、观察，收集学生思维留下的痕迹，做出判断、分析，从而在较短的时间内进行调整，通过关键性的追问引导学生向思维更深处漫溯，朝着学科本质发展。

（三）让每一个学生都发展

基于“证据”的教学，需要教师通过课堂观察、学材呈现等方法，鼓励学生个性化地表达自己的思考过程，从而真实呈现不同层次学生的学情，并在交流碰撞中，深化对数学知识内容的理解。在某种意义上，过去在传统课堂中处于“游离状态”的学生由此逐渐参与到学习过程中来，进而实现“不同层次的学生都能得到相应的发展”这一目标。

综上，基于“证据”的教学，强调让前测、访谈、数据等事实性材料“说话”，远离传统的成见、固守的教條、主观的猜测和惯用的经验;强调充分暴露学生的思维过程，从中获得尽可能准确的信息，从而让学生和学习“真实相遇”，让学习真实发生。

二、价值追寻：为什么教学要基于“证据”

基于“证据”的教学，有着重要的意义。

（一）它是教学设计优化的重要依据

“证据”，体现了学生学习的已有起点，是学生学习现实基础的真实写照。“证据”的分析，应当是教学设计的有机组成部分。它能为课堂教学组织提供可靠的“证据”，有助于教师基于学生的知识基础、认知难点和可能存在的各种困惑设计出以学生为中心的教学活动，让学生的学习真实发生。

（二）它是教学“减负增效”的新路径

许多教师感到困惑的现象是“我讲了这么多遍，学生似乎听明白了，可过后依然出错”。究其原因，教师并没有看见学生真实的思维历程。收集“证据”这个环节的缺失，导致了教学的低效甚至无效。基于“证据”的教学，可以避免由于教师的主观判断与学生的客观现实存在差距，而导致教学低效甚至无效的情况发生。从这个意义上说，基于“证据”的教学是教学“减负增效”的新路径。

（三）它是课堂深度变革的新载体

基于“证据”的教学，追求课堂中每一位学生的“真学习”。它要求教师做到：

收集证据：不盲目依赖“主观经验”，而收集学生的“学习证据”。

精准分析：“证据”背后的潜在问题到底是什么？

有效引导：改变这样的状况，需要如何引导学生？

调整反思：怎样的教学行为才能实现有效的学习引导？

这个过程，真正体现了学生自主建构知识的学习过程，能帮助学生在已有起点的基础上进行信息加工，让整个学习过程“看得见”。这个过程，提供了研究“让学习真正发生”的途径，使我们更清楚怎样教、为什么这样教。

三、实践诠释：如何基于“证据”，提升数学思维的“能见度”

数学课堂教学中，我们究竟该如何基于“证据”，提升数学思维的“能见度”呢？收集“证据”—分享“证据”—关联“证据”—补充“证据”，这样的教学步骤，或许可以成为每位教师教学探索的一种尝试。

（一）收集“证据”，让每一次学习都留痕

在收集“证据”的过程中，教师特别要关注全体学生，让不同思维层次的学生都有思维留痕的机会。

1.整体建构，设计有挑战的问题。

好的问题，固然要指向教学目标和内容本质，但更重要的是呈现出开放的态势，尽量满足不同层次、不同风格学生的个性化需求，呈现出适度的挑战性，给每一位学生的创造性学习预留空间。如此，所有的学生都能够原生态地暴露自己的真实起点，面对同一个问题形成多样化的、鲜活的理解。

《小数的意义》一课，教师这样设计问题：

【材料1】老师给大家带来了一个正方形（见下页图1），如果把这个正方形看作“1”，在这幅图中表示0.2，大家都没有问题，那表示0.23呢？如果要涂色表示，你该怎么办？想一想：怎么涂才能让大家一眼看出你表示的就是0.23？

图1

【材料2】这是一条数轴（见图2），我们把0-1这一段看作“1”，同样，0.2我们已经看到了，那0.23又在哪儿呢？你能不能想办法找到0.23的位置？想一想：怎么画能让我们一眼看出你找的这个位置就是0.23？

图2

这样的问题给学生的思维留足了空间，不同层次的学生会有不同水平的理解和认知。各种不同的见解将在课堂内相互碰撞，教师要做的就是，在学生真实的学习起点上，引导他们完成新知的主动建构。

2.关注差异，提供可操作的工具。

教师在收集“证据”的过程中，应当把学生的差异和潜在的可能充分地考虑进去，创设各种机会，提供可操作的工具，促进学生的发展最大化。

《一一间隔》一课，探究数量关系环节，教师考虑到三个不同层次的学生，提供了三个选项（见图3）。

图3

其中，对于思考有困难的学生，教师提供了一个“小锦囊”，给予了一些提示，让他们也能参与到数学活动中来。“小锦囊”里面不是“答案”，而是一张方便学生统计的表格。其中的研究任务更加清晰：“选择一行研究，数一数△和○各有几个，填入表格中;比一比△和○的个数，你有什么发现？”这样，不同层次的学生都能参与自主探究，留下思维痕迹。

通常，班级里也有一些学生自觉性不够，敷衍地对待教师提前布置的研究任务。这导致学生很难有真体验、真学习。如何让这部分学生也参与学习，并获得思维留痕的机会呢？

《认识千米》一课中，“1千米”的真实体验无疑对表象的清晰建立至关重要。教师用“打卡制”，即让学生在“高德地图”导航软件的帮助下走大约1千米，并且截图打卡，“倒逼”每一位学生真正地参与数学体验。有了1千米行走的打卡体验，学生的后续感觉特别好，很快能判断出：“操场1圈肯定没有1千米”“坐在公交车上过南京长江大桥要好一会呢，它肯定比1千米长得多”。这样，教师就真实看到了学生的思维痕迹，也有效地实现了“关注每一个”的目标。

此外，小问卷、小调查、小访谈、小探究等小工具，都是让每一位学生思维留下痕迹的有效方式。在实际教学中，教师可以灵活运用。

（二）分享“证据”：让每一种思维被看见

在分享“证据”的过程中，教师要特别注意让不同思维层次的学生都有思维展示的机会。

1.多维展示，营造有层次的交流。

分享“证据”时，教师应该考虑形式和方法。本着“人人有机会，‘学困生优先”的原则，努力卷入全体学生，个个交流、积极交流、深度交流。营造有层次的交流，通常可以按照这样的原则：

（1）从“小组”到“全班”。

小组学生少，可以确保每人都有发言的机会;此外，学生在小组内分享自己的研究成果，在其他成员的帮助下及时补充或者修正，在某种意义上已经完成了一次思维的进阶。教师应该把这样的进阶通过追问的形式在课堂上呈现出来，因为它们实际上是非常宝贵的教学资源。

（2）从“学困生”到“优秀生”。

分享“证据”时，理想的状况应该是：先分享思维层次较低的，再分享思维层次高的。这样层层递进的讨论，从不全面到全面，更加符合儿童的认知规律，也能确保不同层次、不同风格的思维痕迹都被看见，并让学生经历更充分的学习过程。教师在引导评价时，应当引导学生先肯定每种方法的优点，再善意提醒，不要全盘否定，从而呵护“学困生”的自信心。

（3）有“集体”也有“个人”。

分享“证据”时，可以由某个学生单独介绍，再和全班互动;也可以由某个小组一起介绍，再和全班互动。这需要教师视分享“证据”的难度而定。

2.伙伴互助，展开有建构的对话。

分享“证据”时，为了更加清楚地看见学生的思维过程，教师通常需要引发学生之间的有效对话。这种对话通常意味着集体参与，意味着互相建构。

特级教师张齐华执教《图形中的秘密》一课，提出问题：把一块长方形玻璃摔成两块，每一块都能还原出原来的长方形玻璃吗？这个问题直击学生认知的模糊处、疑难点，这样的问题是引发学生辩论的必备条件。接着，张老师在交代清楚辩论要求后，便放手让学生充分进行思维碰撞。张老师甚至在学生发生激烈争辩时悄悄“隐身”了：他和下面的学生坐在一起共同倾听。教师及时“隐身”，学生便将注意力放在辩论的小伙伴身上。这实现了学生之间平等的对话，使学生的思维都得以清晰呈现。

深入剖析学生互动的情形，不难看出学生之间的互动通常是以下几种：

提问：对方没有讲明白;

补充：对方没有讲完整;

质疑：对方观点有漏洞;

辩论：对方观点模棱两可;

反驳：对方观点错误;

评价：对方观点有无价值。

教师应当尝试把这几种机制有机镶嵌在课堂中。在对方没有讲清楚时，可以引导学生提示：“你能再说得具体一些吗？”在对方没有讲完整时，可以引导学生提示：“我对你还有一个补充！”在对方讲得特别好時，可以引导学生评价：“刚才他借助画图和手势，表达起来很清晰。”长此以往，课堂自然会出现学生“霸占”讲台，不断和身边的伙伴进行互动的场景。

生生之间的互动，可以有效地把学生的思考过程呈现出来，这也是教师在教学中寻找“证据”的有效方式。

（三）关联“证据”，让思维进阶有路径

“证据”分享结束后，虽然学生的思维有进阶，但通常还停留在零碎、模糊、肤浅的水平。此时，教师就要关注不同“证据”之间的联系，在“证据”与“证据”之间寻找连接点。这种关联，可以帮助学生整理知识，让模糊的知识变得清晰，让肤浅的知识变得深刻，让零碎的知识变得结构化。

1.关键提问，引导有进阶的对话。

“证据”的关联是教师主导下学生思维进阶的一次活动。基于“证据”的教师指导更是能有效提升学生的思维品格，促进知识的迁移与应用。

（1）帮助学生“织网”。

教师尝试把加法交换律、乘法交换律放在一起教学。通过反例成功引导学生清晰认识到3-3=0、4-4=0、5÷5=1等算式不是“减法交换律”“除法交换律”后，一位学生提出：“除法、减法也有交换律，并且适合所有情况。”随后，他出示图4。这个观点，赢得了诸多学生的认可。

图4

随后，教师引导——

师仔细看这两道算式（手指第二组算式的2、8），它和哪一道乘法算式密切相关？

生是乘法算式2×8=16。2和8可以调换，就是因为2×8=16啊！本质上就是乘法交换律。

（全班鼓掌。）

课前，学生通过研究单的学习，获得的知识是“点状”的。课上，在与同伴分享“证据”的过程中，学生可能形成“块状”的知识。这里，教师根据“证据”之间的关联精准提问，给学生提供思维进阶的路径，帮助学生把碎片化的知识变得结构化，把知识编织成“网状”的。网状的知识结构，利于理解、利于内化、利于迁移。

（2）引领学生“登高”。

“证据”关联的形式是多样的，可以是错误与正确的关联，也可以是数与形的关联，还可以是“同中求异”或“异中求同”的关联。在这样的关联中，要引领学生“登高”，让学生的思维一次次地进阶。

一节拓展课上，教师出示图5，提出问题：“咦？同样是这几块图形拼摆，怎么会少掉一块呢？”

图5

学生充分探索后，教师提供揭秘的一种路径：“红色（大的）三角形2条直角边的比值是38，绿色（小的）三角形2条直角边的比值是25。将来同学们会知道，38和25可以表示这2个三角形斜边的倾斜程度。如果比值相等，说明倾斜程度一样，拼起来的大直角三角形的斜边就是一条直直的线段。但是，同学们都知道，38和25并不相等。这意味着什么？这就意味着大直角三角形的斜边并不是一条直直的线段，也就是说，同学们看到的这个大直角三角形其实根本就不是真正的直角三角形……”

最终，教师通过数与形的关联，借助“数”更好地研究了“形”，把“形缺数时难入微”的意识留在了学生心中，让学生的思维向高阶发展。

2.有效回顾，提供有进阶的感悟。

课堂上，教师可以关注思维显著进阶的学生，设置教学环节，引导这部分学生回顾反思，说说自己“原证据”和“现证据”对比后的感悟。通过这样的关联，让他们的学习历程在课堂上亮相，让学习历程、思维进阶留下更深的痕迹。

《小数的意义》一课，教师设置了这样的环节：

师同学们，带着我们刚才的收获，回头再来看看我们的学习材料二数轴图，你若觉得已经非常清楚地表达出了0.23，请举手;若觉得有些小问题、小瑕疵，还需要再调整，也举手给老师看一下。

（学生举手。）

师真好！说明同学们在刚才的学习过程中已经发生了变化，你们对小数的认识又往前迈出了一步。觉得需要修改的，拿出红笔，看看怎么改;觉得不需要改的，轻声说一说，为什么你表示的就是0.23。

（学生活动。）

师都调整好了吗？有没有哪个同学觉得自己之前的作品不是很好，通过调整，现在的0.23特别清晰的？

（学生展示。）

课始，抛出“在正方形中表示出0.23”这个问题后，教师把“数轴图上找0.23”及时调整为问题研究后的即时评价，让学生进行一次调整。于是，教师有意识地提醒学生“拿出红笔，看看怎么改”。这就为后续新旧“证据”的关联留下了更鲜明的学习痕迹。在教师的提示下，学生可能说出“我原来是这样想的……通过刚才学习，我觉得这里不对……所以，我这样修改……”（学生作品改动如图6所示）。教师用这样真实的学习历程感悟，让“0.23就是100等份中的23份，也就是23100”这一知识形成过程留下了更深的痕迹，从而启发更多的学生。

图6

关联“证据”，是分享“证据”的延伸与提升，旨在通过建立“证据”之间的联系，让不同思维层次的学生都有思维进阶的可能。当然，这对教师的专业素养提出了更高的要求。它要求教师在学生表达和交流时，基于“证据”，准确研判：学生懂了吗？学生的困难究竟在哪里？知识的实质是什么？所学的知识在“知识网”中处于怎样的地位？……只有基于真实的“证据”，准确把脉，才能实现学生思维真正的进阶。

（四）補充“证据”，让学力提升有空间

学生“先学”留下思维痕迹;教师引领学生“织网”，夯实知识的基础;教师又继续引领学生“登高”，实现思维的进阶。补充“证据”这一步骤，重在让不同思维层次的学生都有学力生长的空间。

教师可以设置“好题推介”这样的环节，也可以设置“友情提醒”“我的疑惑”等环节，从而补充更为丰富的“证据”，促进不同思维层次学生的共同发展。在这个过程中，教师也扮演着至关重要的角色。如：学生准备的好题在何时展示？这些好题展示的顺序怎么安排？这些都需要教师相机而行。

当然，教师也应当适时补充“证据”，如相关的数学史料、人文故事，指向学生素养的练习题等，让学生的学习走向深度。

《小数的意义》一课的末尾，教师这样设置练习：

师（出示图7）这是我们熟悉的计数器，在这个计数器上表示整数是没有问题的，那如果要表示0.23，可以吗？会不会遇到困难？如果真的遇到困难，提醒你：对这个计数器，你可以调整、修改，做出一些改变。总之，想办法表示出0.23。

（学生独立思考，师生对话。）

师看来，我们以前学过的个位、十位、百位不够用了，我们需要有一些新的数位。后面，我们会再深入学习。

教师补充的“证据”，引发了学生“数位不够用”的认知冲突。这个过程，也涉及十进制思想、位值制思想的感悟。这些学习历程都会对学生未来的学习产生重要影响，为学生学习力的提升蓄力。

基于“证据”的数学教学，通过师生有意识、有目的地收集“证据”、分享“证据”、关联“证据”、补充“证据”，让每一位学生在学习过程中留下学习痕迹，逐步清晰认识，实现思维进阶，最终提升学力。基于“证据”的数学教学，并不意味着把原来的教学推倒重来，而是原有教学基础上的一种继承与创新，更加强调“真实的学习”。事实上，这样的教学更加契合我们所追求的“深度学习”。因为，学习“真实”了，数学素养才会落地，深度学习才会真正发生！

参考文献：

[1] 仲广群.教学新密码：小学数学“助学课堂”范式[M].南京：南京师范大学出版社，2014.

[2] 王飞.小学数学课堂教学中学情证据的收集与利用[J].小学数学教育，2019（24）.

[3] 汤岚.基于证据的教学如何成为现实[J].人民教育，2019（23）.