侧重计算机仿真的数学物理方程教学探索

李永利 孙志滨

摘 要：数学物理方程主要研究以物理学和工程技术中提出的偏微分方程，作为我校数学与应用数学专业的本科专业选修课。以公式推导为主的传统教学模式，使学生理解较困难。本文对数学物理方程教学方式进行探索，对波动方程进行分离变量得到方程解析解，并利用Matlab数学软件作为辅助教学手段动态地显示数值解的情况，增强学生的理论与应用能力，激发学生学习兴趣，提高课程的教学效率。在本科教学实践中切实加强计算机仿真的地位。

关键词：数学物理方程;Matlab;分离变量;教学案例;偏微分方程工具箱

一、课程性质及地位

数学发展的两条清晰轨迹;纯理论性发展，以及与物理等实体科学和工程问题相结合的发展[1]。本课程既数学的纯理论，又是研究物理等学科的工具。数学物理方程主要研究以物理学和工程技术中提出的偏微分方程[2]。其任务是建立数学偏微分方程模型，寻找偏微分方程模型的解，并进行理论分析，进而达到解释与描述物理现象的目的[3]。

数学物理方程是为我校理学院为数学与应用数学专业本科生开设的数学选修课，也是数学与应用数学专业人才培养目标的核心课程。其先修课程是数学分析，高等代数，常微分方程、复变函数与积分变换。该课程也是高校教学中难度较大、学生学习兴趣较低的课程之一。本课程旨在让学生掌握数学物理方程的概念、求解方法、基本理论，学会运用所学知识，利用Matlab软件对实际问题进行模拟仿真。

本文结合专业的教学特点，遴选重点内容，突出课程的应用性。数学物理方程的解析解求解过程较为烦琐，甚至在实际应用中很难得到，且很难直观地理解解的物理意义。本文尝试将计算机仿真引入到课程教学中。应用Matlab软件，编程或者利用PED工具箱，对解进行模拟仿真。教学过程加入计算机仿真的内容，能够切实加强培养同学们的数学建模能力、编程实践能力和创新思维能力。丰富教学内容，提高学生的积极性。

二、教学内容

分离变量法是求解数学物理方程定解问题的基本方法。其基本思想是将多变量的偏微分方程转变成几个单变量的常微分方程，逐一求解。利用线性偏微分方程的叠加原理，得到解析解的级数形式。主要讨论有界区域上的波动方程、热传导方程、泊松方程。涉及简单的常微分方程理论的预备知识。本文以波动方程为例设计教学。

三、教学过程

数学物理方程的三类典型的方程：波动方程、热传导方程、泊松方程可以总结成如下的表示形式：

波动方程属于双曲型偏微分方程，热传导方程属于抛物型偏微分方程，泊松方程属于椭圆型偏微分方程。

二维波动方程：

考虑膜振动问题：一个边长为a和b的矩形膜置于x-y平面的第一象限，其中四周被固定，膜的初始位移与初始速度为任意函数，确定任意点（x，y）在任意时刻t的位移u（t，x，y），即求解下面的定解问题：

MATLAB模拟仿真：

研究矩形膜中心点的振动情况，取（x，y）=（12，12），取解析解的部分和，因为随着k，l增大级数中的通项递减，所以起主要作用的是解析解中的前若干项，根据精确度的需要，选择合理的项数。k和l均的求和均选取前30项，MATLAB的模拟过程，如图1：

又通过MATLAB的PDE工具箱，得到本定解问题的动态显示，如图2为一瞬间的波动分布情况。限于篇幅，未列出仿真程序。

四、结语

在数学理论上能够得到数学物理方程的解析解，当解析解是初等函数时，是可以直接求解，并用计算机呈现出精确解。当解析解为非初等函数时，分离变量法得到的解析解是级数形式，通过选取有限项近似，让学生体会解析解的内涵与应用。另一方面，实际计算模拟中，可能用不到解析解的形式，只用到数值解的形式，涉及数值计算方法，例如有限差分法，有限元法等，需要学生继续学习与探索。数学物理方程的求解和数学建模以及对其进行计算机仿真具有重要意义。

本文主要讲授对波动方程进行分离变量法求解方程解析解，给出仿真的结果并能动态地显示数值解的情况。仿真模拟结果能更直观地显示解的意义，增强学生的感性认识。学生可以就本文学习波动方程的方式，学习双曲型、抛物型、椭圆型方程。

在今后的教学中还需继续进行新的探索，使计算机仿真在教学实践中发挥更大的作用。还应意识到计算机仿真不仅存在《数学物理方程》教学中具有重要意义，而且在其他许多学科教学中也应该加强计算机仿真的重要作用和地位。

參考文献：

[1]顾樵.数学物理方法[M].北京：科学出版社，2018.

[2]姜礼尚，陈亚浙，等.数学物理方程讲义（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3]季孝达，薛兴恒，等.数学物理方程（第2版）[M].北京：科学出版社，2009.

作者简介：李永利（1990—），女，汉族，河北邯郸人，硕士，助教，研究方向：偏微分方程数值解。