有限群的非交换主因子

鲍宏伟, 高百俊, 张 佳

(1. 蚌埠学院 理学院, 安徽 蚌埠 233030； 2. 伊犁师范大学 数学与统计学院, 新疆 伊宁 835000；3. 西华师范大学 数学与信息学院, 四川 南充 637009)

1 引言与预备知识

本文所有的群均为有限群, 所用术语和符号可参见文献[1-2]. 特别地, |G|表示群G的阶,p表示|G|的奇素因子, |G|p表示|G|的p-部分. 当T≤G时,TG表示T在G中的柱心, 即其为包含在T中G的极大正规子群.M<·G表示M是G的一个极大子群,pU表示所有p-超可解群构成的群类.

目前, 关于有限群的研究已取得了许多结果[3-7]. Vdovin等[8]研究了包含Hall子群的有限单群的一些性质, 即Eπ-群、Cπ-群和Dπ-群; Monakhov等[9]使用p-阶可补子群研究了群的合成因子; Ballester-Bolinches等[10]利用G群中p′-子群H的可置换性研究了HG的主因子; Miao等[11]通过分析G的合成因子结构, 证明了G是可解的当且仅当G的Sylow 3-子群、 Sylow 5-子群和Sylow 7-子群在G中是可补的; 文献[12]考虑了一类非可解群与M-可补子群之间的关系; 文献[13]介绍了弱M-可补子群的概念, 推广了M-可补子群[14]和c-正规子群[15]的概念, 并得到了一些关于可解群结构的新刻画.

6下面给出一个关于非可解群主因子结构的实例： 考虑群T=C25×C25×C25×C25×C25和G=[T]S5, 是25阶循环群和5阶对称群的圈积. 则G的每个主因子A/B都满足下列条件之一：

1)A/B≤Φ(G/B);

2)A/B是5′-群；

3) |A/B|5=5.

定义1[13]设T是群G的子群, 如果存在G的子群B, 使得:

1)G=TB;

2) 若T1/TG是T/TG的极大子群, 则T1B=BT1

则称T是群G的弱M-可补子群. 这里TG是T在G中的柱心.

本文利用奇素数阶的弱M-可补子群给出群主因子的一些新刻画, 并确定群非交换主因子的分类.

引理1[11]设G是有限群, 则：

1) 若T在G中弱M-可补,T≤M≤G, 则T在M中是弱M-可补的；

3) 令π是一个素数集, 设K是G的正规π′-子群, 且T是G的π-子群, 若T在G中弱M-可补, 则TK/K在G/K中弱M-可补；

4) 设R是G的可解极小正规子群,R1是R的极大子群, 若R1在G中弱M-可补, 则R是素数阶循环群；

5) 设p是|G|的素因子,P是G的p-子群, 若P在G中弱M-可补, 则存在G的子群B, 使得对于P的任意包含PG的极大子群P1, 有|G∶P1B|=p.

引理2[16]设T≤G, 且Ω为T在G中的右陪集, 则G/TG同构于Sym(Ω)的一个子群. 特别地, 如果|G∶T|=n, 则G/TG同构于Sn的一个子群.

引理4[17]设N是群G的一个非平凡可解正规子群, 如果N∩Φ(G)=1, 则N的Fitting子群F(N)是G的包含在N中极小正规子群的直积.

引理5[1]设K和N是群G的正规子群,N≤K且K是幂零的, 如果K/N≤Φ(G/N), 则K≤Φ(G)N.

引理6[18]设p是素数,E是群G的正规子群,p整除|E|,P是E的一个Sylowp-子群. 如果p阶或4阶(若p=2或P是非交换的)P的每个循环子群在G中都是Π-正规的, 则E≤ZpU(G).

引理7[9]设G不是p-可解群,p∈π(G). 如果任意p阶子群在G中可补, 则G非交换的pd-合成因子A/B同构于下列群之一：

1)A/B≅PSL(2,7)且p=7；A/B≅PSL(2,11)且p=11；

2)A/B≅PSL(2,2t)且p=2t+1>3是Fermat素数；

3)A/B≅PSL(n,q),n是大于2的素数, (n,q-1)=1且p=qn-1/q-1；

4)A/B≅M11且p=11；A/B≅M23且p=23；

5)A/B≅Ap且p≥5.

引理8[12]设P是群G的一个Sylowp-子群,p∈π(G). 假设1

1)A/B≅PSL(2,7)且p=7；A/B≅PSL(2,11)且p=11；

2)A/B≅PSL(2,2t)且p=2t+1>3是Fermat素数；

3)A/B≅PSL(n,q),n是大于2的素数, (n,q-1)=1且p=qn-1/q-1；

4)A/B≅M11且p=11；A/B≅M23且p=23；

5)A/B≅Ap且p≥5.

2 主要结果

定理1设H是G的正规子群,P是H的Sylowp-子群, 其中p是|H|的奇素因子. 如果P的每个极小子群(H∈Ep′,P的每个极大子群)在G中是弱M-可补的, 则H中的每个非交换pd-合成因子A/B都满足引理8中的条件1)～5)之一.

证明： 用极小阶反例法. 假设结论不真, (G,H)为满足条件且|G||H|为极小的反例. 显然, 因为p-可解群的pd-合成因子都是交换的, 且是p阶的, 所以H是非p-可解群. 若Op′(H)≠1, 则由引理1可知, 商群G/Op′(H)满足假设条件. 因此, 由极小阶反例知,H/Op′(H)中的每个非交换pd-合成因子都满足结论. 进而,H中的每个非交换pd-合成因子都满足结论, 矛盾. 因此,Op′(H)=1. 下面分两种情形证明.

情形1)P的每个极小子群在G中都是弱M-可补的.

如果P的每个极小子群L都是G的正规子群, 则由引理6知(G,H)成立, 矛盾. 如果P的每个极小子群L都在G中可补, 则由引理7知(G,H)成立, 即H中的每个非交换pd-合成因子都满足结论, 矛盾. 下面选择G的极小子群R. 根据假设,R在G中可补, 并且存在G的极大子群M, 使得G=RM,R∩M=1. 此外, 由引理2知,G/MG同构于Sp的一个子群.

如果MG=1, 则G同构于Sp的一个子群. 由于Sp的每个Sylowp-子群都是p阶的, 且在Sp中可补, 因此由引理7知,G的每个Sylowp-子群及H的任一非交换pd-合成因子A/B必满足上述条件之一, 矛盾. 如果MG≠1, 则

H/H∩MG≅HMG/MG≤G/MG

同构于Sp的一个子群. 由于H∩MG≤H, 由(G,H)的选择可知(G,H∩MG)满足假设, 且H∩MG的每个非交换pd-合成因子都满足上述条件之一. 因此, 由引理8可知,H/H∩MG任一非交换pd-合成因子都满足上述条件之一. 从而H的任一非交换pd-合成因子都满足上述条件之一, 矛盾.

情形2)P的任一极大子群在G中弱M-可补且H∈Ep′.

由引理8可知,Ep′-群集合对于正规子群、 商群是封闭的.

定理2设H是G的正规子群,P是H的一个Sylowp-子群,p是|H|的奇素因子. 如果P的任一极大子群在G中弱M-可补, 则H中的每个G-主因子A/B都满足下列条件之一：

1)A/B≤Φ(G/B)；

2)A/B是p′-群；

3) |A/B|p=p.

证明： 用极小阶反例法. 假设结论不真, (G,H)为满足假设且|G||H|极小的反例. 下面分两种情形讨论.

情形1)Op(H)=1.

如果H∩T=1, 则由H≅HT/T≤G/T同构于Sp×Sp×…×Sp的一个子群易得矛盾. 下面假设H∩T≠1. 如果|(H∩T)p|<|P1|, 则存在P的极大子群U, 使得(H∩T)p

U=(H∩T)pU1,

G=US=(H∩T)pU1S=U1S,

矛盾. 此外, 根据引理1,U∩(H∩T)≤Φ(U)且H∩T是p-幂零的. 如果(H∩T)p′≠1, 则由引理1中3)及(G,H)的选择可知, (G/(H∩T)p′,H/(H∩T)p′)成立, 从而(G,H)成立, 矛盾. 因此,H∩T是一个p-群, 其与Op(H)=1和H∩T≠1矛盾. 如果|(H∩T)p|=|P1|, 则存在P的极大子群X, 使得X≤T. 因为X在G中M-可补, 从而存在G的子群K, 使得G=XK, 且对X的任一极大子群Xi, 都有XiK

X≤T,X≤(XiK)G≤XiK,XiK=G,

与XiK

情形2)Op(H)≠1.

假设Op(H)∩Φ(G)≠1, 则在Op(H)∩Φ(G)中存在G的极小正规子群R. 如果|R|=|P|, 则H/R是p′-群, 从而(G,H)成立, 即H中的每个G-主因子都满足结论, 矛盾. 因此|R|<|P|, 并且存在P的极大正规子群P1, 使得R≤P1. 由引理1中2)及(G,H)的极小性可知, (G/R,H/R)成立. 又因为R≤Φ(G), 所以H中的每个G-主因子都满足结论, 矛盾.

下面假设Op(H)∩Φ(G)=1. 若Φ(Op(G))≠1, 则由引理4可知, 对G包含在Op(H)中的极小正规子群L1,…,Lt,Op(H)=L1×…×Lt.

断言Op(H)是G的极小正规子群. 否则, 可选择G包含在Op(H)中两个不同的极小正规子群L1和L2, 由引理1中2)及(G,H)的选择可知, (G/Li,H/Li)(i=1,2)成立. 如果L1L2/L2≤Φ(G/L2), 则由引理5可得L1L2≤Φ(G)L2. 因为L1L2≤Op(H), 所以

L1L2≤Op(H)∩Φ(G)L2=(Op(H)∩Φ(G))L2=L2,

矛盾. 由L1≤Op(H)和L1≅L1L2/L2知, |L1|=p, 从而(G,H)成立, 即H中的每个G-主因子都满足结论, 矛盾.

L

矛盾. 因此(P2)G=1. 由假设知,P2在G中M-可补, 从而存在G的子群K2, 使得G=P2K2, 且有WK2

由定理1和定理2, 可得本文的主要结果：

定理3设H是G的正规子群,H∈Ep′,P是H的Sylowp-子群, 其中p是|H|的奇素因子. 如果P的每个极大子群都在G中是弱M-可补的, 则H中的每个非交换pd-G-主因子A/B都满足引理8中的条件1)～5)之一.

推论1设G是p-可解群,P是G的Sylowp-子群, 其中p是|G|的奇素因子. 如果P的每个极大子群在G中都是弱M-可补的, 则G∈pU.

推论2设E是G的p-可解正规子群,P是E的Sylowp-子群, 其中p是|E|的奇素因子. 如果P的每个极大子群在G中都是弱M-可补的, 则

E/Op′(E)≤ZpUΦ(G/Op′(E)).

定理4设E是G的正规子群,P是E的Sylowp-子群, 其中p是|E|的奇素因子. 如果P的每个极小子群在G中都是弱M-可补的, 则E中的每个G-主因子A/B都满足下列条件之一：

1)A/B是p′-群；

2) |A/B|p=p.

证明： 假设结论不真, 且对于|G||E|极小的(G,E)为极小阶反例. 设δ={M<·G| |G∶M|=p}, 对任意M∈δ,T=∩MG. 下面分3种情形证明.

情形1)P中任一极小子群L在G中正规.

如果P中任一极小子群L在G中正规, 则由引理6知(G,E)成立, 矛盾.

情形2)P中任一极小子群L在G中可补.

如果P中任一极小子群L在G中可补, 则存在G的子群M, 使得G=LM,L∩M=1. 根据引理2,G/T同构于Sp×Sp×…×Sp的子群. 如果T=1, 则由引理2知,E同构于Sp×Sp×…×Sp的一个子群, 从而(G,E)成立, 矛盾. 因此T≠1.

断言E∩T≠1. 否则,E∩T=1, 且E≅ET/T≤G/T同构于Sp×Sp×…×Sp的子群, 矛盾. 进一步, 断言E∩T是一个p′-群. 否则存在包含于P中E∩T的子群H, 其中|H|=p. 根据假设, 存在M1∈δ, 使得G=HM1=M1, 矛盾. 由引理1中3)知, (G/(E∩T)p′,E/(E∩T)p′)成立, 从而(G,E)成立, 矛盾.

情形3) 存在P的一些极小子群在G中正规, 且其他子群在G中可补.

根据情形1)和情形3)的假设, 显然E∩T

如果E∩T=1, 则E≅ET/T≤G/T同构于Sp×Sp×…×Sp的子群, 矛盾. 假设1

由定理1和定理4可得：

定理5设H是G的正规子群,H∈Ep′,P是H的Sylowp-子群, 其中p是|H|的奇素因子. 如果P的每个极小子群在G中都是弱M-可补的, 则H中的每个非交换pd-G-主因子A/B都满足引理8中的条件1)～5)之一.

推论3设G是p-可解群,P是H的Sylowp-子群, 其中p是|H|的奇素因子. 如果P的每个极小子群在G中都是弱M-可补的, 则G∈pU.

推论4设E是G的p-可解正规子群,P是E的Sylowp-子群, 其中p是|E|的奇素因子. 如果P的每个极小子群在G中都是弱M-可补的, 则E/Op′(E)≤ZpU(G/Op′(E)).

3 应 用

由定理1～定理5可得如下推论：

推论5[19]设G是p-可解群,P是G的Sylowp-子群, 其中p是|G|的奇素因子. 如果P的每个极大子群在G中都是弱M-可补的, 则G∈pU.

推论6设G是p-可解群,P是G的Sylowp-子群, 其中p是|G|的奇素因子. 如果P的每个极大子群在G中都是c-正规的, 则G∈pU.

推论7设E是G的p-可解正规子群,P是E的Sylowp-子群, 其中p是|E|的奇素因子. 如果P的每个极小子群在G中都是M-可补的, 则E/Op′(E)≤ZpU(G/Op′(E)).

推论8设E是G的p-可解正规子群,P是E的Sylowp-子群, 其中p是|E|的奇素因子. 如果P的每个极小子群在G中都是c-正规的, 则E/Op′(E)≤ZpU(G/Op′(E)).

感谢日本千叶大学李想教授对张佳博士提供合作项目的支持及悉心指导.