基于二阶滑模控制的多导弹协同制导律研究

刘 悦，张佳梁，赵利娟，甄子洋

(1. 南京航空航天大学 自动化学院，江苏 南京 211106； 2. 上海机电工程研究所，上海 201109)

0 引 言

随着反导技术的不断发展，单个导弹很难成功突破敌方拦截网络,导弹对目标的毁伤能力受到了极大限制，多导弹协同作战的概念随之产生。参考自然界中生物的集群现象,比如狼群围捕猎物,斑马聚集产生视觉效果以抵御天敌等[1]。在协同作战中，通过多枚导弹在空间位置相互配合协作，达到提高突防概率、目标捕获能力和抗干扰能力等目的，从而保证每枚导弹在复杂且无常的未来战场上实现精确制导并配合群体中其他导弹完成多种作战任务[2]。因此，协同制导策略可以极大地提升导弹突防概率和毁伤概率。实现多导弹系统协同攻击，要求参与协同制导任务的多枚导弹可以从不同方向同时到达目标，协同制导律作为多导弹系统协同作战的核心，直接影响着制导精度以及协同制导的效果，这对多导弹系统的制导律提出了更高的要求[3]。

当前针对多导弹协同制导律的研究仍然处于起步阶段，主要针对静止或低速目标的单约束协同制导律开展研究。近年来，在多约束协同制导律方面也有了一定的研究成果。2007年，Jeon等在文献[4]中提出了一种同时具有期望攻击角度以及时间约束的协同导引方法(impact-time-and-angle-control guidance，ITACG)。文献[4]对弹目相对运动进行归一化，以文献[3]中的导引律为底层导引律，利用模型预测静态规划(model predictive static programming，MPSP)法对初状态估计进行调整并修正末状态预测量。文献[5]将多导弹协同制导的数学模型沿视线方向分解为两个子系统。通过一致性理论和非奇异终端滑模控制方法，设计了具有角度约束的协同方法。文献[6]在三维空间内基于最优控制理论和滑模控制理论设计了一种可以同时控制时间和攻击角度的制导律。文献[7]基于非奇异终端滑模控制方法，提出了一种能够同时控制时间和攻击角度的制导律。文献[8]基于二阶滑模理论，通过反演法限制视线角速率变化轨迹的方法实现了多约束协同制导。文献[9]使用反步法，提出了一种新的二阶滑模控制方法，满足碰撞时间和角度的限制。

多约束协同制导律可以在一定程度上提高单枚导弹战斗部效能及毁伤效果，多枚导弹协同制导可以在战术上提高突防概率，实现群体作战效能最大化。本文将针对二维平面内制导问题，对弹目相对运动关系进行建模，结合二阶滑模控制理论和反演法，选取保证系统稳定性的二阶滑模面，设计期望攻击角度变化轨迹，得到一种具有多约束条件的协同制导方法。

1 弹目相对运动数学建模

由于三维空间导弹和目标之间运动关系复杂，需要在多个坐标系之间进行数值转换。偏航平面和俯仰平面两者存在一定耦合关系，为简化处理，选取偏航平面对其进行解耦，在二维平面内建立弹目相对运动关系，如图1所示。作出以下假设：①认为导弹和目标是质点，忽略导弹和目标形状以及四周复杂环境干扰；②导弹及目标运动速度大小保持不变；③横侧向加速度方向垂直于速度方向，用于改变速度方向，为有界控制输入。

图1 弹目相对运动关系Fig.1 Relative motion relationship of the missile and target

假设有i枚导弹，当目标为运动状态时，弹目相对运动数学关系为

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：i代表第i枚导弹；θmi、θt分别为导弹、目标的弹道倾角；qi为目标视线角；vmi、vt分别为导弹、目标的速度；ri为弹目距离；ami、at分别为导弹、目标的横侧向加速度。

上述弹目相对运动方程以时间t作为变量。为了方便实现时间约束，将导弹横坐标位置xi作为变量，获得弹目相对运动方程

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

式中，当导弹和目标之间距离较近时，ri取值较小，此时目标视线角速率变化范围较大。为了防止目标视线角出现震荡现象，应将脱靶率限制在一定范围内；同时，由于导弹速度远大于目标速度，可保证目标视线角不会出现突变。为了对制导时间和攻击角度进行约束，设置各导弹初始条件及期望制导时间和期望攻击角度约束条件如下：

yi(xi0)=yi0;t(xi0)=0;θ(xi0)=θi0

(10)

y(xt)=yt;t(xt)=td;θ(xt)=θdi

(11)

2 多约束协同制导律设计

滑模控制是一种具有结构简单、响应速度快、鲁棒性能好等优点并且适用于非线性系统的变结构控制方法[10]。为了改善经典滑模控制系统的抖振现象，提出了高阶滑模控制的概念[11]。为了减少高阶滑模计算复杂度，利用反演法对二阶滑模面进行设计。反演法利用李雅普诺夫稳定性理论，确保每一个滑模面都是渐近稳定的，从而保证由多个子系统组成的完整系统是稳定的[12]。

下面采用二阶滑模控制方法来设计具有角度和时间约束下的协同制导。

2.1 期望视线角指令

期望目标视线角以及期望目标视线角速率随xi的变化轨迹设计为[9]

(12)

(13)

使其满足在约束时间内以期望角度对目标攻击的条件，故初始条件为

(14)

终端条件为

(15)

将式(14)～(15)代入式(12)～(13)求得系数b、c、d、e分别为

(16)

(17)

(18)

(19)

式中，系数b、c、d、e都与a相关。为了保证期望攻击时间，设置一定步长对a进行循环迭代，通过多次调节a的大小，得到制导时间随a的变化曲线，获得期望制导时间下最优的a值。

2.2 二阶滑模控制

考虑建立如下滑模面

si=qi-qdi

(20)

求导可得

(21)

为了使滑模面si趋近于零，选择李雅普诺夫函数

(22)

其导数为

(23)

(24)

进而得到

(25)

(26)

求导可得

(27)

为了保证在有限时间内让s2i收敛到零，选择李雅普诺夫函数

(28)

求导可得

(29)

对式(21)求导可得

(30)

由式(1)求导可得视线角的二阶导数为

(31)

提取式(31)中与目标运动状态相关的项，整合后看作干扰项，即

(32)

由式(13)求导得出期望视线角的二阶导数为

(33)

将式(31)～(33)代入式(30)得到

(34)

(35)

式中：ζ为正数；|εmax|为外界干扰项最大上界；sat(·)为饱和函数，代替传统开关函数，避免系统抖振现象。

该制导律可以满足V2负定，保证系统稳定性，同时又能够保证导弹在制导过程中完成以期望攻击角度对目标进行打击的任务。

为了保证导弹在具有时间约束的情况下完成制导任务，通过调节a值来实现制导时间误差(t-td)取最小值。一般选取期望制导时间td大于纯比例制导律时的制导时间，但是当td过大时，会发生脱靶率较大的情况。因此，可以通过对a值进行迭代来获得期望制导时间的设置范围。

3 仿真结果分析

为了对上述协同制导律进行验证，分别针对静止目标和运动目标两种不同情况进行仿真。

3.1 对静止目标协同制导

在目标静止情况下对制导律进行仿真验证。各导弹横侧向加速度限制为80 m/s2，导弹和目标初始运动状态如表1所示，期望制导时间和期望打击角度如表2所示。图2为弹目相对运动轨迹，其中“○”表示导弹，“☆”表示目标。图3绘制了制导过程中导弹横侧向加速度随时间变化的曲线。图4绘制了导弹目标视线角随时间变化的曲线。图5绘制了导弹速度倾角随时间变化的曲线。仿真结果见表4。

表1 导弹和目标初始状态Tab.1 Initial state of missile and target

表2 协同参数设置Tab.2 Cooperative guidance parameter setting

表3 制导律参数设置Tab.3 Guidance law parameter setting

图2 弹目相对运动轨迹(静止目标)Fig.2 Relative motion trajectory of each missile(static target)

图3 导弹横侧向加速度(静止目标)Fig.3 The lateral acceleration of each missile(static target)

图4 导弹目标视线角(静止目标)Fig.4 LOS angle of each missile(static target)

图5 导弹速度倾角(静止目标)Fig.5 The velocity angle of each missile(static target)

表4 仿真结果Tab.4 The simulation results

由图2～5可以看出，在横侧向加速度限制范围内,两枚导弹可以完成具有时间约束和角度约束的制导任务。由表4可以看出两枚导弹的脱靶率较小，基本可以在期望制导时间点上对目标进行打击，期望攻击角度误差较小。

3.2 对运动目标协同制导

当目标为运动状态时，对制导律进行仿真验证。导弹和目标初始状态信息、协同参数及制导律参数设置如表5～7所示。图6绘制了弹目相对运动轨迹，其中“○”表示导弹，“☆”表示目标。图7绘制了导弹横侧向加速度随时间变化的曲线。图8绘制了导弹目标视线角随时间变化的曲线。图9绘制了速度倾角随时间变化的曲线。仿真结果见表8。

表5 导弹和目标初始状态Tab.5 Initial state of missile and target

表6 协同参数设置Tab.6 Cooperative guidance parameter setting

表7 制导律参数设置Tab.7 Guidance law parameter setting

图6 弹目相对运动轨迹(运动目标)Fig.6 Relative motion trajectory of each missile(moving target)

图7 导弹横侧向加速度(运动目标)Fig.7 The lateral acceleration of each missile(moving target)

图8 导弹目标视线角(运动目标)Fig.8 LOS angle of each missile(moving target)

图9 导弹速度倾角(运动目标)Fig.9 The velocity angle of each missile(moving target)

表8 仿真结果Tab.8 The simulation results

由图6～9可知，当目标为运动状态时，目标视线角和速度倾角都在制导末阶段成功收敛到20°和-15°，且两枚导弹横侧向加速度在限制范围-80～80 m/s2内完成制导任务。由表8可知，在目标运动状态下，脱靶率小于10 m，制导时间误差小于0.1 s，攻击角度误差较小，即两枚导弹都可以在期望时间节点以期望角度打击目标。

4 结束语

本文提出了一种多约束协同制导律，针对具有制导时间和攻击角度约束的制导问题，基于二阶滑模控制理论设计了期望目标视线角变化轨迹，保证多枚导弹以期望角度攻击的同时实现攻击时间的协同。为了保证系统的渐进稳定性，利用反演法选取二阶滑模面，通过引入饱和函数有效改善系统抖振现象。由于获取目标运动状态信息比较困难，将控制量中与目标运动状态信息有关的量视为外界环境干扰，使得目标在静止或运动状态下导弹都可以完成制导任务。通过仿真验证了该二阶滑模制导律可以在一定的横侧向加速度限幅范围内实现制导时间和攻击角度的协同制导。仿真结果表明，脱靶率、时间误差和角度误差均较小。两枚导弹同时以不同的攻击角度对目标进行拦截包围，可以较好地完成协同任务，进一步提高作战成功概率，降低目标反导系统的防御能力。