燕岩军,宋儒瑛,杨 帆
(1.山西机电职业技术学院 基础部,山西 长治 046011;
2.太原师范学院 数学系,太原 030619;
3.佳木斯大学 理学院,黑龙江 佳木斯 154002)
在科学和工程领域,矩阵研究应用广泛,并且许多问题可归结为矩阵特征值和奇异值相关问题.因此,对矩阵特征值和奇异值相关研究具有重要意义.近年来,矩阵特征值、奇异值研究越来越受到广泛学者的关注,并得出许多较好结果,主要涉及非奇异终端[1]、特征多项式[2]、特征值扰动[3]、奇异值扰动[4]、矩阵空间[5]等相关方面的研究.特别地,Eisenstat[6]与Ipsen等[7]对于可对角化矩阵给出乘法扰动下特征值扰动结果:
(1)
这里κ(X)=‖X‖2‖X-1‖2.
随着对矩阵特征值、奇异值问题深入研究,许多学者在研究方法上也不断探索创新,这些方法对研究矩阵特征值、奇异值在误差精确性方面起着非常重要的作用,如矩阵迭代判定法[8]、正交矩阵对角化法[9]、正规矩阵对角化法[10]等.本文在这些方法研究基础上,对矩阵特征值、奇异值问题作进一步研究.通过构造双随机矩阵、结合矩阵相关技巧运算,给出一种新的证明方法,并得出新结论:
(2)
最后,通过比较式(1)与式(2)结果,可以知道式(2)结果更优,说明本文结论改进推广了Eisenstat与Ipsen等人已有结果,具有一定的研究意义.
首先对文中字母符号进行简要说明.在文中使用符号Cm×n来表示m×n阶复元素矩阵的全体,用符号I代表单位矩阵,用符号A*表示矩阵A的共轭转置,用符号eig(A)表示方阵A的全体特征值,用符号‖·‖2表示矩阵的谱范数,用符号‖·‖F表示矩阵的F范数.
定义1[11]假定矩阵A∈Cn×n.若存在一个n×n阶可逆矩阵Q,并且满足A=QΛQ-1,那么就称矩阵A是一个可对角化矩阵.其中这里Λ=diag(λ1,λ2,…,λn)为对角矩阵,并且λi(i=1,2,…,n)表示矩阵A的特征值.
说明对于任意一个n×n阶方阵B,结合矩阵奇异值知识可以将其分解为B=U*∑V.其中这里的U、V表示酉矩阵,∑=diag(σ1,…,σn),σi表示方阵B的奇异值,并且有σ1≥σ2≥…≥σn≥0.
引理1[12]假定矩阵S=(sij)是一个n×n阶的双随机矩阵.对于任意一n×n阶方阵T=(tij),那么则存在{1,2,…,n}中的一个排列τ,使其满足:
(3)
(4)
根据矩阵B奇异值分解,可知:
B-1=(U∑V*)-1=(V*)-1∑-1U-1=V∑-1U*.
(5)
因此,结合矩阵B奇异值分解可以得出:
(6)
同理:
(7)
(8)
这里用符号Re(α)表示复数α的实部.
这样,将引理1结果应用到式(8)中,可以知道存在{1,2,…,n}的一个排列τ,满足式(9):
(9)
根据式(9)可知定理成立.证毕
特别说明:对于非奇异矩阵奇异值相对扰动研究,本文通过构造双随机矩阵法并结合Li R C[13]一文相应技术手段,给出矩阵加法扰动下非奇异矩阵奇异值相对扰动上界的一个新结论,具有一定的推广意义.这是因为,对于n×n阶非奇异矩阵B,Demmel与Veselic[14]证明得出:
(10)
尽管Demmel和Veselic得出奇异值相对扰动上界比较好,但Li R C[15]一文中通过进一步研究证明并得出:
(11)
这说明,Demmel和Veselic得到的结果中奇异值相对扰动界的和并不是最小.由此可见,本文结论具有一定的研究价值.如果在本文基础上还能进一步找到比本结论还小的上界,这对研究矩阵奇异值相对扰动意义重大,这是以后努力的方向.
其中这里的λi(i=1,2,…,n)表示矩阵A的特征值.
(12)
(13)
对于可对角化矩阵,给出矩阵乘法扰动下特征值差的扰动上界估计,并且本文得到定理2上界估计更优,改进了Eisenstat、Ipsen等的结果。
这里因为,比较式(1)与式(2),根据矩阵谱范数定义,显然有:
(14)
由式(14)可以看出,本文定理2中得到的扰动上界比Eisenstat、Ipsen等得出的上界估计要小,所以本文定理2结论改进了参考文献[6,(定理6.1)]与[7,(定理5.1)]中的结论,具有一定的研究意义.