数学解题教学需落实“慢思考”

熊露 赵思林

摘要：数学解题教学需要引导学生“慢思考”，即以思维价值高的数学问题的分析和解决为载体，让学生学会进行有广度、有深度、有厚度、有创意的思考以及对解题思路的思考（反思）。以一道函数最值问题为例，开展落实“慢思考”的教学，引导学生对思路发现和解题回顾两个阶段“慢思考”。

关键词：慢思考解题教学最值问题

一、数学解题中的“快思考”与“慢思考”

“快思考”与“慢思考”是美国著名心理学家丹尼尔·卡尼曼在《思考，快与慢》一书中提出来的两种思考模式。卡尼曼认为，人们通常使用两种主要的思维系统——系统1和系统2，处理信息和做出决定。系统1是直觉的、无意识的、即时的、自动的和情绪化的“快思考”;而系统2是缓慢的、理性的、推理的、有意识的、反思的和深层次的“慢思考”，其通常用于解决复杂问题。

数学问题的解决一般需要经过四个阶段：（1）弄清题意;（2）思路的分析、探索与发现（简称“思路发现”）;（3）解题过程的表达与书写（简称“表达书写”）;（4）解题后的回顾与反思（简称“解题回顾”）。在数学解题教学中，很多教师比较重视解题的弄清题意和表达书写两个阶段，对思路发现和解题回顾这两个阶段重视不够。甚至，在有的课堂上，教师会直接告知解题方法，得到正确答案后，基本上没有解题回顾。

在思路发现阶段，往往需要经验的启发、“原型”的联想、思路的顿悟，以及问题结论的猜想、预估、洞察等，这些都离不开直觉式思考，即“快思考”。在“快思考”的基础上，解题思路的清晰、解题方法的选择、逻辑推理和精确计算等，主要用到“慢思考”。“慢思考”对于培养人的理性思维、推理能力、深度思维、质疑精神、反思习惯等都是极为有益的。

在解题回顾阶段，不仅需要“快思考”，更需要“慢思考”。具体而言，解题思路的发现需要有广度的思考，对应思维的发散性和灵活性;面对解题过程中出现的“懂而不会”、“会而不全”、“似是而非”、逻辑错误、计算繁难等，需要有深度的思考，对应思维的深刻性和批判性;解题思想方法的提炼需要有厚度的思考，对应领悟或感悟数学的思想性;解题方法的优化、结论的推广需要有创意的思考，对应思维的创新性;解题元认知的开发需要对思考进行思考。

因此，数学解题教学需要引导学生“慢思考”，即以思维价值高的数学问题的分析和解决为载体，让学生学会进行有广度、有深度、有厚度、有创意的思考以及对解题思路的思考（反思）。“慢思考”虽然会让教学进度慢下来，一节课可都能讲不完一道题，但解题过程会变成各种数学思维充分暴露的过程，学生在对题目系统全面的分析、解题思路的探索和发现、解题中出现的逻辑错误和计算繁难原因的厘清、数学思想方法的感悟和提炼、解题元认知的开发等方面会有比较充足的思考时间。

二、“慢思考”解题教学案例

“求函数y=5x2+4-3x的最小值”是一道思维价值很高的典型的函数最值问题。由于题干简明，所以弄清题意不需要“慢思考”。如果学生初次接触此题，可能不知道从哪儿下手，即缺乏解题的经验，那么其解题的思路发现就特别需要“慢思考”。下面，以这一问题的解决为例，聚焦思路发现、解题回顾两个阶段，说明如何在数学解题教学中落实“慢思考”。

（一）思路发现的“慢思考”

思路发现的策略，一般有代数发现策略、几何发现策略、数形结合发现策略、高等数学发现策略等。

1.代数发现策略。

代数发现策略包括多种解题方法，如直接观察法、构造二次方程用判别式法、用三角换元法去根号、用欧拉代换法去根号以及不等式法等。教学时，教师可以有针对性地引导学生展示各种解题方法（也可教师补充介绍），并进行比较。

对于这道函数最值问题，有学生在审题后，通过直接观察，认为：若x≤0，则x2≥0，-3x≥0;因此，当x≤0时，y≥10;故y最小=10。

还有一些学生对于这道题思路发现策略的核心是一致的——消去二次根号。有这样两种方法：

第一种，构造二次方程用判别式法。具体的解题思路为：

将y看作常量，x看作未知数，移项并平方可得到关于x的二次方程16x2-6xy+100-y2=0;然后，利用判别式得到y的范围，即y≥8或y≤-8（舍）;把y=8代入原函数，解得x=32>0，符合题意。故y最小=8。

除了上述部分方法的解题回顾，教师还可引导学生进行整体的解题回顾，如：（1）这些解题方法中，哪些是通性通法？哪些方法可以推广？哪些方法需检验？（2）从二次根式x2+4的处理中，可以獲得什么解题经验？

在数学解题教学中落实“慢思考”，其深刻意蕴在于让学生“通过解一道题去领悟解无穷多道题的智慧”，通过解一道题的“慢”，换回解一类题的“快”。“慢”其实是为了“不慢”。

*本文系四川省教育厅人文社会科学重点研究基地项目“中学数学教师核心素养结构与测评研究”（编号：PDTR201802）、成都市2019年度教育科研重点课题“基于大数据差错诊断的直播教学结构构建”（编号：CY2019Z07）、四川省卓越教师培养计划项目“内江师范学院西部卓越中学数学教师协同培养计划”（编号：ZY16001）的阶段性研究成果。

参考文献：

[1] 丹尼尔·卡尼曼.思考，快与慢[M].胡晓姣，李爱民，何梦莹，译.北京：中信出版社，2012.