基于师范类专业认证理念论数学分析与中学数学的联系

万阿英 杨金英 高 阳

(呼伦贝尔学院 内蒙古 海拉尔 021008)

师范专业认证的理念是“学生中心、产出导向、持续改进”。作为培养基础教育师资的高校数学专业。课程教学一定要围绕这一理念进行。数学专业是传统师范专业，数学分析又是数学专业的专业基础课程，它起到中学数学和大学数学课程的衔接作用。但是由于数学分析课程是一门逻辑严谨、抽象概括的课程。教材的编写多是按着知识理论的层层递进，强调逻辑的严密性和知识结构的完整性。在教材中，没有分析和中学数学的联系。由于这门课程的专业性和重要性，学校安排的多是教授或是科研水平高的资深教师讲授。教师能够把这门课程讲授的全面深刻，揭示后续课程的衔接及前沿理论的铺垫，可却恰恰忽略了和中学数学知识的衔接。这样导致学生在数学专业毕业之后，走上工作岗位，不知道如何运用所学的大学数学知识指导教学，甚至工作几年后都不重视数学分析课程的作用。下面从师范专业认证的理念阐述数学分析的知识对中学数学教学的指导作用。

一、数学符号语言的作用

数学符号语言是表达数学知识和数学思想的工具，中学生有时惧怕数学很大程度上是对数学语言的不理解或者理解不到位，导致不会解题。在数学分析课程中，数学语言的应用很广泛。教师结合中学知识去教学，有利于学生自己学习数学知识，同时为数学专业师范毕业生将来从事教学工作打下坚实的基础。在很多高考试题中也铺垫了对数学符号语言的考察。很多中学老师对此的反思不到位，笔者认为与他们接受的高等教育有直接关系。在接受数学专业知识的过程中不能很好的体会理解数学符号语言的作用，在职业生涯中就不能够举一反三。

数学语言理解不到位，就会找不到解题思路。例如：

(1)求实数a的取值范围；

(2)若x1(0,1),x2(1,+∞),求证：

(2)若x1(0,1),x2(1,+∞)，有可以转化为max{f(x)|x进而转化为求f(x)分别在(0,1)和(1,+∞)的最大值。

以上分析，可以看到数学语言虽深奥却简练，中学生只要能够读懂数学语言，逐步转化，非常难解的题也会迎刃而解。师范专业的学生在数学分析课程的学习中，就要体会数学语言，并且具备文字语言和符号语言的转化能力。在数学分析课程里，这样的训练很多。如，有界函数的定义：设f为定义在D上的函数。“若存在正数M，使得对每一个xD有|f(x)|≤M”则称f为D上的有界函数。引号内的叙述等价于∃M>0,∀xD,有|f(x)|≤M。

这样改写的训练，表面只是把文字改写为数学符号，但却更有利于对数学概念的理解，同时，数学符号语言的应用也能训练学生抽象思维的能力，提高对中学数学中数学符号的理解。所以，在数学分析课程教学中，要有意识的训练学生的数学符号语言能力。

二、极限思想

极限概念是数学分析课程的一个重要概念，很多的后续定义均来自极限。例如导数的定义，数项级数的定义，定积分的定义。把握好极限概念的教学对学生学好数学分析具有重大意义。在中学数学中，虽然没有明确提到极限的概念，但是在很多知识中都有所渗透导数的概念、切线的定义。如果数学专业的学生能够很好的了解这些数学概念的本质，将来成为一名中学教师也会得心应手、深入浅出的讲解这些概念。

在教学中，关于正数的任意性的理解是重点，它的任意小表达的是无限接近。在给定之前是任意的，但在分析证明时，却把作为常数。存在N，是要找到N，在确定N的存在性时。N又和ε有关，在这部分教学中，学生是理解不好，但笔者觉得只要多花时间反复练习和训练，学生逐渐地接受。初中的负数概念引入，高中的数列引入，都是经历了这样的过程。数学语言的抽象使学生不好理解，但是它和艺术的美的熏陶一样是需要一个慢慢渗透的过程。

三、微分学中值定理的启示

在中小学教师资格考试中，曾要考生简述拉格朗日微分中值定理与中学数学内容的联系。很多人感觉一头雾水，完全不知道如何解答。原因就在于师范院校在数学分析课程中，讲授微分中值定理时没有联系中学数学的内容，也没有很好的引导学生思考探索这些问题。

拉格朗日微分中值定理：若函数满足如下条件：

这样一个连接函数和导数桥梁的定理，教学中不能仅局限于定理的内容和证明。和中学数学知识的联系也尤为重要，导数是函数的瞬时变化率，而右侧的比值是函数的平均变化率。在几何意义上，导数是切线的斜率，而右侧的比值是割线的斜率。高中学习了基本初等函数的性质，可以用拉格朗日中值定理解释或者去证明。在高等数学中利用拉格朗日定理可以证明很多初等函数的性质或者不等式。教学中的有意引导，可以为数学专业的学生将来职业中做好铺垫。

(1)讨论f(x)的单调性；

分析：(1)略；

(2)设f(x)图像上任意两点A,B，原题要证f(x)的任意一条割线的斜率kAB>-1,即是证明f(x)的任意一条切线的斜率k>-1，也就是要证明f(x)>-1,x(0,+∞)恒成立。对于一个连续光滑的函数曲线来说，任意一条割线都有一条与其斜率相等的切线，这就是数学分析中的拉格朗日微分中值定理。本题就是以拉格朗日微分中值定理为背景而设计的高考试题。微分中值定理建立了函数与导数的桥梁，在微分学中占有重要的地位，是高考考查的重点内容之一。近几年高考中，出现了不少含有微分中值定理的试题。这类试题常以不等式恒成立问题为基本切入点，具有一定的难度和深度，可以较好地甄别学生的数学能力。

在数学分析课程教学中恰当引入高中数学题，使数学专业的学生切实感受到高等数学和中学数学的联系。

例3.(2010辽宁)已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1，

(1) 讨论函数f(x)的单调性；

(2) 设a<-1，如果对任意x1,x2(0,+∞)，都有|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|成立，求a的取值范围。

分析：(1)略；

(2)由拉格朗日微分中值定理，知

∃x0(0，+∞)，使得使得，

由|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-X2|,得

|f(X0)|≥4，由(1)知f(x)<0

四、 微元法与数学建模

中学新课标中强调学生数学应用意识的培养，高考也加大了对应用型题目的考察。

积分学中的微分法可以说是培养数学建模思想的最好内容。在数学分析课程的教学过程中，有意识的培养学生数学建模的意识，对将来从事教学会有很大帮助。

例如，变力所做的功：设质点受力F的作用沿x轴由点a移动到点b，并设F处处平行于x轴。如果F是常力，则它对质点所做的功为W=F(b-a)。如果F是变力，它连续依赖于质点所在位置的坐标x，即F=F(X),X[a,b]为一连续函数，此时F对质点所做的功W的计算，把[a,b]细分为n个小区间[xi-1],△xi=xi-xi-1,i=1,2,…,n;并在每个小区间上任取一点ξi，就有F(x)≈F(ξi),x[xi-1,xi],i=1,2,…,n。于是，质点从xi-1位移到xi时，力F所做的功就近似等于F(ξi)△xi，从而从这个实际问题抽象出定积分的定义，这就是一种数学建模必经之路，把实际问题抽象成数学问题，然后用数学方法解决。在数学分析的教学中，有意识培养学生的数学建模意识对于师范生将来从事教学非常重要。近年来高考题中，出现很多这样的问题。中学生亲自体会运用数学解决实际问题，深刻感受数学学科的魅力，对激起学生学习数学的兴趣及主动性起着十分关键的作用。

另外，很多人经历了长达十几年的数学学习，然而数学知识很大部分在工作、生活中难以得到有效应用，这也是有些中学生对学习数学的困惑。师范专业的学生首先要自己能够认识到数学对人的成长所起的作用，认识到数学素养无时无刻的存在于工作、生活中，影响着甚至改变着每个人。才能在将来的职业生涯中影响学生。

数学建模就是联系现实与数学之间的桥梁，它是将现实问题抽象成数学问题，然后运用数学知识去表述和解决的过程.为顺应社会发展的需求，数学教育越来越重视学生数学建模能力的培养.

五、 数学史融入教学内容

数学史融入数学教学在中学数学中已得到广泛重视，在高考试题中也有所体现。《全日制义务教育数学课程标准》中提出“数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中”。高中课程标准中也明确提出了“数学史”。数学史是数学文化的重要部分，可见，数学史在数学教学中的渗透非常值得关注。在数学分析的教学中，通过了解数学曲折的发展历史，可以促进学生对数学分析的理解和数学分析价值的认识。

在数学分析中，极限概念的引入，一定要提到我国古代数学家刘徽，他撰写的著作《九章算术注》是我国宝贵的数学遗产。其中提出“割圆术”来求圆周率，这是极限思想的开始。刘徽用单位圆的内接正n边形的周长近似圆的周长，如此不断地分割下去，一直到圆周无法分割为止，多边形的周长就等于圆的周长。在无限的过程中就体现了极限的思想，由近似到相等，发生了质变。

德国数学家克莱因曾经说过：数学史可作为数学教育的指南。学生在学习中遇到的困难，也是数学家历史上遇到的困难。在数学分析课程学习中，深入挖掘数学史，对学生的职业生涯一定会有很大帮助。实施师范专业认证，就是为了保证教师培养的专业性、标准性和灵活性。随着中学课程改革的深入，高等数学的内容、思想和方法已经渗透到中学数学教学之中,师范院校应该深入挖掘专业课程的功能，使学生既能学到专业知识，同时也具备成为一名优秀教师的素养和能力。所以在数学分析课程教学中，系统化研究和设计课程的内容，为实施有效的教学方法以及教学手段提供知识性依据。总之，从师范专业认证的角度，挖掘数学分析与中学数学的联系，对于培养专业的中学数学教师是一项重要的工作，值得我们探讨研究。