Pythagorean犹豫模糊灰色关联前景多属性决策方法

包 顺，徐 鑫，肖 箭，周礼刚

安徽大学 数学科学学院，合肥 230601

1 引言

多属性决策是现代决策科学的一个重要研究领域，是从事物的多个属性出发逐一评价，对这些属性的评价信息进行综合分析，并作出最终决策，其理论和方法在工程设计、经济、管理和军事等诸多领域中都有着广泛的应用。

随着社会经济环境的不断复杂化以及人类自身知识水平的局限性，人们对于事物的准确判断受到了越来越多的限制。因此，自Zadeh[1]于1965 年提出模糊集的概念以来，模糊理论和方法就被广泛应用于各个领域。在此基础上，专家学者们又提出了模糊集的若干推广，如1983年Atanassov[2]提出了由隶属度、非隶属度和犹豫度三方面信息组成的直觉模糊集；Torra[3]于2010年进一步拓展了模糊集，提出了犹豫模糊集的概念，其他形式的模糊集，有区间直觉模糊集[4]、Pythagorean模糊集[5-7]等。

作为Pythagorean 模糊集与犹豫模糊集的一种结合形式，Pythagorean犹豫模糊集既能反映出决策者主观的犹豫不决，又能拓展直觉模糊集中隶属度与非隶属度的范围，能够充分地刻画出现实生活中的不确定性和模糊现象，具有广阔的发展前景。目前对Pythagorean 犹豫模糊集的研究较少，如文献[8]提出了Pythagorean 犹豫模糊集的相关测度，文献[9]选取了正负理想解作为参考点，利用Pythagorean 犹豫模糊欧式距离测度表示各个方案偏离正负理想解的大小，并将TOPSIS 方法应用在Pythagorean 犹豫模糊集，文献[10]提出一种基于Pythagorean 犹豫模糊交叉熵的多属性群决策方法。文献[11]提出了一种基于前景理论的Pythagorean 犹豫模糊不确定语言ELECTRE多属性决策方法。

Kahneman[12]将心理学和行为经济学相结合，提出了前景理论和累积前景理论[13]，为处理不确定性决策问题提供了一个新的方法。前景理论也广泛应用在模糊偏好关系[14]、语言决策环境[15]等领域。

灰色关联分析（GRA）方法自提出以来，便在多属性决策问题中得到了广泛的应用。如文献[16]提出了基于二元语言模型的不完全属性权重信息下的灰色关联分析方法，文献[17]提出了直觉模糊环境下的灰色关联分析方法，文献[18]提出了一种基于群灰色关联分析的化工生产设备故障诊断方法等。

本文在上述研究的基础上，将前景理论和灰色关联方法引入Pythagorean 犹豫模糊多属性决策，提出了基于前景理论的Pythagorean犹豫模糊灰色关联多属性决策方法，并通过实例验证了该方法的有效性和合理性。

2 预备知识

定义1[19]设X是给定的论域，则F={x,F(hF(x),gF(x)) |x∈X}称为X上的Pythagorean 犹豫模糊集，其中hF(x)和gF(x)是区间[0,1]上的非空有限子集，分别表示元素x属于F的隶属度与非隶属度，并且满足：0 ≤μ,v≤ 1,0 ≤(μ+)2+(v+)2≤ 1，这里对于任意的x∈X，有：

设f=F(h,g) ，f1=F(h1,g1) 和f2=F(h2,g2) 为 3 个Pythagorean犹豫模糊数，则有如下运算法则[9]：

定义2[19]设f=F(h,g) 是一个Pythagorean 犹豫模糊数，则称：

为f的得分函数，其中#h和#g分别表示隶属度集合h和非隶属度集合g中元素的个数。

在对Pythagorean 犹豫模糊数的大小进行比较时，不同的Pythagorean犹豫模糊数其隶属度集合与非隶属度集合内的元素数目可能不等。例如，有两个Pythagorean犹豫模糊元分别为：

易知#h1=3,#h2=2,#h1≠#h2,且#g1=2,#g2=3,#g1≠ #g2。

定义3[20]设f1=F(h1,g1),f2=F(h2,g2)为两个Pythagorean犹豫模糊数：

（1）若#h1＞#h2，则对h2进行扩充，增加#h1-#h2个元素，增加的元素均为：

（2）若#h1＜#h2，则对h1进行扩充，增加#h2-#h1个元素，增加的元素均为：

（3）若#g1＞#g2，则对g2进行扩充，增加#g1-#g2个元素，增加的元素均为：

（4）若#g1＜#g2，则对g1进行扩充，增加#g2-#g1个元素，增加的元素均为：

这里ζ∈[0,1]。特别地，当ζ=1 时，增加的元素取该隶属度（非隶属度）集合中最大的隶属度（非隶属度）值；当ζ=0 时，增加的元素取该隶属度（非隶属度）集合中最小的隶属度（非隶属度）值；当ζ=0.5 时，增加的元素取该隶属度（非隶属度）集合中最大的和最小的隶属度（非隶属度）值的算术平均值。

称由上述方法扩充的Pythagorean 犹豫模糊数为标准化的Pythagorean犹豫模糊数。

定义4[9]设f1=F(h1,g1),f2=F(h2,g2)为两个标准化的Pythagorean犹豫模糊数，则f1和f2之间的Pythagorean犹豫模糊欧氏距离可以定义如下：

其中，#h=#h1=#h2且和分别为f1和f2中第k大的隶属度和非隶属度，π1和π2分别为f1和f2的犹豫度，可表示如下：

灰色关联方法[21]是一种衡量曲线形状相似性的方法，曲线形状越接近，序列之间的关联度越大。通过灰色关联分析，最优方案应是与正理想解有着最大的灰色关联度，而与负理想解有着最小的灰色关联度。

定义 5设均表示 Pythagorean 犹豫模糊向量，且1,2,…,m,j=1,2,…,n)均是Pythagorean犹豫模糊数，则称：

前景理论[22]是在“有限理性”的基础上，反映决策者的主观风险偏好的一种决策方法。在前景理论中，价值函数和概率权重函数共同决定了前景价值。价值函数是决策者根据实际收益或损失所产生的主观感受的价值[23]。

在前景理论中，决策者是根据参考点来评估各个方案的收益和损失情况的。因此，参考点的选择密切影响着决策结果，其选取一般由决策者根据自己的风险偏好决定。许多学者选取零点[24]、中位数[25]、各属性的期望值[26]或者正负理想解[27-28]为决策参考点。本文在Pythagorean犹豫模糊多属性决策问题中以正负理想点作为决策参考点，根据灰色关联度来定义各个方案与正负理想解之间的偏差，从而定义了Pythagorean 犹豫模糊环境下的前景价值函数。

定义6设f1=F(h1,g1)，f2=F(h2,g2)为两个标准化的Pythagorean 犹豫模糊数，若f2为决策参考点，则f1的前景价值函数为：

其中，dE(f1,f2)表示f1偏离f2的大小；α和β反映了决策者对收益和损失的敏感性程度；θ表示损失区域比收益区域更陡的特征，θ ＞1 表示损失厌恶。

3 基于前景理论的Pythagorean 犹豫模糊灰色关联多属性决策方法

考虑一个Pythagorean 犹豫模糊多属性决策问题。其中：X={x1,x2,…,xm}(i=1,2,…,m)为方案集，C={c1,c2,…,cn}(j=1,2,…,n)为属性集，设属性权重为ω=(ω1,ω2,…,ωn)T,且满足由于客观事物的复杂性以及决策者自身知识水平的局限性，决策者在决策过程中对某些方案及属性的评估可能会出现不同程度的犹豫不决。因此，设方案xi在属性cj下的评估值fij=F(hij,gij)，其中隶属度集合hij=，非隶属度集合表示犹豫模糊数hij中元素的个数，#gij表示犹豫模糊数gij中元素的个数，且i=1,2,…,m，j=1,2,…,n。

基于前景理论的Pythagorean 犹豫模糊灰色关联多属性决策方法的步骤如下：

步骤1构造样本数据的Pythagorean犹豫模糊决策矩阵F：

步骤2取ζ=0.5，利用定义3 将矩阵F标准化，使得#h=#hij且#g=#gij，得到标准化之后的Pythagorean犹豫模糊决策矩阵：

步骤3确定方案的正理想解和负理想解分别为：

其中，h+和h-中元素的个数均为#h，g+和g-中元素的个数均为#g。

步骤4通过式（4）分别计算各备选方案xi与正理想解x+之间关于属性j的灰色关联系数值，与负理想解x-之间关于属性cj的灰色关联系数值。

步骤5计算各备选方案xi在属性cj下与正理想解之间的差异值，与负理想解之间的差异值若D(xi,x+)表示方案xi与正理想解x+之间的差异集，D(xi,x-)表示方案xi与负理想解x-之间的差异集，则：

表1 Pythagorean犹豫模糊决策矩阵F

表2 标准化的Pythagorean犹豫模糊决策矩阵Fˉ

步骤6根据前景理论中价值函数的特征可知，若以正理想解为参考点，则各个方案相对于正理想解是损失的;反之，若以负理想解为参考点，则各个方案相对于负理想解是获益的，则可构造负前景价值函数：

正前景价值函数：

步骤7计算每个方案的收益损失比，即

步骤8按照Di(i=1,2,…,m)的大小对方案进行排序，Di值越大，方案越优。

4 案例分析

能源发展战略正成为世界各国共同关注的话题[29-30]。在不确定性和风险环境下，能源项目的选择是能源发展的关键步骤。在能源项目评估中，Xu和Xia[30]总结出四个需要考虑的属性：（1）c1：经济因素；（2）c2：技术因素；（3）c3：环境因素；（4）c4：社会政治因素，并给出属性权重向量ω=(ω1,ω2,ω3,ω4)T=(0.15,0.3,0.2,0.35)T。对于能源项目，假设有5个备选方案X={x1,x2,x3,x4,x5}。在Pythagorean犹豫模糊环境下，邀请专家对这些方案进行评价，构建了Pythagorean犹豫模糊决策矩阵F如表1所示[9]。

根据本文提出的决策方法：

步骤1将F标准化，得到标准化之后的Pythagorean犹豫模糊决策矩阵Fˉ如表2所示。

步骤2根据公式（4）分别计算出各个方案的评价值与正负理想解的灰色关联系数：

步骤3属性的权重向量完全已知为ω=(0.15,0.3,0.2,0.35)T，根据公式（8）和（9）可得负前景价值矩阵v-(dE(hij,(hj)+))和正前景价值矩阵v+(dE(hij,(hj)-))分别为：

其中：α=β=0.88，θ=2.25[22]。

步骤4根据公式（10）计算每个方案xi的收益损失比值，如表3所示。

表3 收益损失比值

步骤5按照大小对方案进行排序，可知C5＞C3＞C4＞C1＞C2，因此各方案的排序结果为x5≻x3≻x4≻x1≻x2。

利用文献[9]提出的Pythagorean 犹豫模糊环境下TOPSIS方法，可以计算出各方案的排序值分别为：

从而得到各方案的排序结果为：x5≻x3≻x4≻x1≻x2。

为验证本文提出的基于前景理论的灰色关联决策方法的合理性和优越性，将本文提出的方法的排序结果与文献[9]的排序结果进行比较，发现：

（1）本文提出的决策方法计算出的各个方案的排序值的方差v1=0.024 5，文献[9]中各个方案排序值的方差v2=0.001 7，v1＞v2，所以本文提出的决策方法中各个方案的优劣区分更为显著，为决策者提供更加强有力的决策依据。

（2）相比单一的TOPSIS方法，基于前景理论的灰色关联多属性决策方法不仅刻画了评价对象与理想解之间的关联程度，而且引入了前景价值函数，充分考虑决策者的风险偏好，使得决策过程更加细腻，决策结果更加合理。

5 结论

本文应用Pythagorean 犹豫模糊数来描述多属性决策信息，使得决策信息的表达更加准确细腻，并具有很大的灵活性，降低了决策信息的损失。同时提出了综合应用前景理论和灰色关联方法的多属性决策方法，通过实际案例分析比较，表明本文所提出的决策方法决策过程更加合理，决策结果更具有说服力，具有良好的实践应用前景。

在未来的研究中，将致力于把Pythagorean 犹豫模糊信息、决策者的心理、传统的多属性决策方法三者相结合，并将研究结果应用到模式识别、医疗诊断以及不确定性决策问题中，更加全面细致地探索多属性决策问题。此外，对于Pythagorean 犹豫模糊群决策问题的探索，也是今后的研究重点。