浅析高中数学函数的对称性与单调性

◎刘振宇 刘 君 （北华大学数学统计学院，吉林 吉林 132013）

高中数学教材中，单调性是学生要掌握的函数的第一个基本性质，旨在让学生观察函数图像，能够运用数学符号语言来描述函数的变化规律，并由此解决一些相关问题.奇偶性是学生要掌握的第二个函数基本性质，运用数形结合的思想，用代数式来描述函数图像的特点.奇偶性实际上是函数对称性的两种特殊形式.学生在做练习题时，对这两部分知识的综合运用并不是特别熟练，其原因是对这两部分知识的实质与联系未能扎实掌握.因此本文浅析对称性与单调性的本质与联系，以期提升学生分析解决问题的能力.

一、函数的单调性

定义：一般地，设函数f（x）的定义域为I，定义域I内某个区间D上任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2）（f（x1）＞f（x2））恒成立，那么我们就可以说，函数f（x）在区间D上是单调递增（递减）的，D称为函数f（x）的单调增（减）区间.

实际上对于任意一个函数，如果该函数有单调增区间，那么在这个区间上，函数值是随着自变量的增大而增大、随着自变量的减小而减小的，也就是说在此区间上，函数值大小的变化与自变量大小的变化保持一致性；如果该函数有单调递减区间，那么在这个区间上，函数值是随着自变量的增大而减小、随着自变量的减小而增大的，也就是说在此区间上，函数值大小的变化与自变量大小的变化保持相反性.以上就是函数单调性实质的表述.这样一来，关于连续非常值函数，在它的单调区间上会出现最大值与最小值，学生会经常遇到这类问题.对于这类问题，我们首先要明确函数的定义域，找到它的单调区间，然后根据单调性来解决问题.判断函数单调性常用的方法有作差法和作商法等，这里不做过多叙述.

拓展：对于函数y＝f（x）定义域某个区间D上，如果有两个自变量x1，x2，并且x1＜x2，若说明在此区间上，函数值大小的变化与自变量大小的变化保持一致性，该函数在此区间单调递增，反之则是单调递减的.

二、函数的对称性

（一）两种对称函数

1.轴对称型函数.如果一个函数的图像沿一条直线翻折后，与这条直线另一侧的图像完全重合，那么我们可以说该函数图像是关于这条直线轴对称的，这条直线叫作该函数的一条对称轴，具有这一特点的函数我们称其为轴对称型函数.

2.中心对称型函数.如果一个函数的图像以一个点为中心旋转180°角后，与原图像完全重合，那么我们可以说这个函数图像是关于中心对称的，这个点是这个函数的一个对称中心，具有这一特点的函数我们称其为中心对称型函数.

（二）函数对称的条件

所有函数的问题只有明确了定义域才能继续讨论，函数的对称性也不例外.上述的两种对称类型函数，我们在强调图像经过翻折或旋转后能够完全重合，表现在定义域上也是关于“轴”或“点”对称.比如一个中心对称型函数y＝f（x），对称中心为（a，b）（a，b∈R），其定义域必关于x＝a对称；一个轴对称型函数y＝g（x），一对称轴为x＝c（c∈R），则其定义域必关于x＝c对称.奇函数是关于原点中心对称的函数，其定义域关于x＝0 对称；偶函数是关于y轴对称的函数，其定义域关于x＝0 对称.

（三）轴对称、中心对称型函数代数式的关系

1.轴对称型函数y＝f（x）.设对称轴为直线x＝a（a∈R），由轴对称的概念我们可以知道，该函数图像上关于直线x＝a对称的两点的纵坐标相等.设该函数图像上任一点为（x，f（x）），则其关于直线x＝a的对称点也在该函数图像上，可得到其坐标为（2a－x，f（2a－x）），则f（x）＝f（2a－x），即f（x）－f（2a－x）＝ 0，此外令x＝x＋a，我们又可以得到式子f（x＋a）－f（a－x）＝ 0.

2.中心对称型函数y＝g（x）.设对称中心为（b，c）（b，c∈R），由中心对称的概念可以知道，将该函数图像上关于（b，c）对称的两点连线，（b，c）是这条线段的中点.设该函数图像上一点的坐标为（x，g（x）），则其关于（b，c）对称的点也在该函数图像上，坐标为（2b－x，g（2b－x）），根据中点坐标公式我们可以推导出也就是g（x）＋g（2b－x）＝ 2c，令x＝x＋b，又可以得到g（x＋b）＋g（b－x）＝ 2c.

由以上的推导，对函数对称性类型总结为“加点减轴”：两个函数式相加等于某个常数，该函数为中心对称型函数；两个函数式相减等于0，则该函数是轴对称型函数.

另外，将表达式推广到一般形式，做出如下总结：

f（a＋x） ＝f（b－x） ⇔y＝f（x） 图 像 关 于 直 线x＝对称.

推论 1：f（a＋x）＝f（a－x）⇔y＝f（x）图像关于直线x＝a对称.

推论 2：f（x）＝f（2a－x）⇔y＝f（x）图像关于直线x＝a对称.

推论 3：f（－x）＝f（2a＋x）⇔y＝f（x）图像关于直线x＝a对称.

f（a＋x）＋f（b－x）＝ 2c⇔f（x）的图像关于点对称.

推论 1：f（a＋x）＋f（a－x）＝ 2b⇔y＝f（x）的图像关于点（a，b）对称.

推论 2：f（x）＋f（2a－x）＝ 2b⇔y＝f（x）的图像关于点（a，b）对称.

推论 3：f（－x）＋f（2a＋x）＝ 2b⇔y＝f（x）的图像关于点（a，b）对称.

三、函数对称性与单调性的联系

1.如果一个轴对称型函数，既存在单调增区间也存在单调减区间，那么根据轴对称型函数的图像性质，我们能够发现，这个函数的单调增区间的关于对称轴对称的区间一定是这个函数的单调减区间，单调减区间关于对称轴对称的区间一定是这个函数的单调增区间.

2.如果一个中心对称型函数，既存在单调增区间也存在单调减区间，那么由中心对称型函数的图像性质，可以发现，这个函数的单调增区间的关于对称中心对称的区间一定是这个函数的单调增区间，单调减区间的关于对称中心对称的区间一定是这个函数的单调减区间.

由以上的分析，我们逐渐摸索出了函数对称性与单调性的本质，并且找到了这两个性质的一些关联.接下来，让我们通过一些具体的实例，感受二者之间的联系.

例1已知y＝f（x）是定义在 R 上的函数，且满足当x＞1 时，f（x）是单调递增的.解不等式f（x＋1）≤f（2）.

思路分析应利用轴对称型函数与其单调性的联系求解.首先通过题中所给信息可以判断出，该函数图像关于直线x＝1 对称，且单调增区间为（1，＋∞），就可以知道单调减区间为（－∞，1），由对称性可知，f（0）＝f（2），由单调性可以知道在［0，2］区间上，任意的函数值都不会大于f（0）和f（2），那么可得0≤x＋1≤2，解出该不等式的解集为［－1，1］.

证明由于且f（x）的定义域是R，说明函数f（x）是关于直线x＝1 对称的，根据轴对称型函数的性质可知，当x＜1 时，f（x）是单调递减的.f（2）＝f（1＋1）＝f（1－1）＝f（0），可知

f（x）在［0，1］是单调递减的，在（1，2）是单调递增的.

有 0≤x＋1≤2，

所以x∈ [－1，1].

例2已知y＝f（x）是定义在 R 上的函数，满足等式f（x－1）＋f（3－x）＝ 4，当x＜－3 时，f（x）单调递减.

求证：当x＞5 时，f（x）是单调递减的.

思路分析此题是在考查函数的对称性与单调性的联系，我们可以判断出该函数是关于点（1，2）中心对称的，并且能够发现点（－3，f（－3））与点（5，f（5））恰好是关于点（1，2）对称的，根据中心对称型函数性质可知：f（x）在（－∞，－3）上的单调性与在（5，＋∞）上的单调性保持一致，这个问题便解决了.

证明由于f（x－1）＋f（3－x）＝ 4，且f（x）的定义域是 R，则f（x＋1）＋f（1－x）＝ 4，f（x）关于（1，2）对称.

f（－3）＋f（5）＝ 4，即（－3，f（－3））与（5，f（5））关于点（1，2）对称.

f（x）在（－∞，－3）上是单调递减的，根据中心对称型函数性质可知，f（x）在（5，＋∞）上是单调递减的.

即当x＞5 时，f（x）是单调递减的.

例 3已知：f（x）＝ （x－1）3＋1.求证：4－（f（0）＋f（－2））＜f（3）＋f（5）.

思路分析此题给出函数具体表达式，来证明不等式成立.很显然要应用单调性来证明，f（x）＝ （x－1）3＋1 是由f（x）＝x3平移得到的，平移变换并不影响函数的对称性.

证明易知f（x）＝ （x－1）3＋1 图像关于点（1，1）对称，则f（－2）＋f（4）＝ 2，f（0）＋f（2）＝ 2，

所以 4－（f（－2）＋f（0））＝f（2）＋f（4）.

证明f（2）＋f（4）＜f（3）＋f（5）成立即可.

可知f（x）＝ （x－1）3＋1 在（1，＋∞）上单调递增，且f（x）＞0，则f（2）＋f（4）＜f（3）＋f（5），

所以 4－（f（0）＋f（－2））＜f（3）＋f（5）.

结语

对于综合考查函数对称性与单调性的问题，要先确定函数的对称类型，再根据单调性与对称性的联系，运用数形结合、函数与方程等思想解决问题.教师要引导学生观察总结，并加以联系，从而提升学生的解题能力.