例谈高中数学中函数的解题思路

姚柯帆

摘 要：函数贯彻整个高中数学，是高中数学的重点内容，因题型复杂多变，较为抽象，解题难度较大，是各类测试中失分较严重的题型。教学实践中，教师应通过讲解具体例题，传授不同函数题型的解题思路，帮助学生迅速找到解题突破口，提高函数题型的解题水平与效率。

关键词：高中数学;函数;解题思路

高中数学函数解题思路较多，包括分离参数法、换元法、数形结合法。为使学生灵活应用这些解题方法，顺利、正确解答高中函数试题，提高函数试题解题能力，教师应详细列出相关题型的解题步骤，使学生深刻感受、领悟，彻底掌握。

1.分离参数法解题

解答函数恒成立试题时，部分题型可將参数分离出来，而后求解另一边函数式的最大值或最小值，此时要想恒成立，则需满足参数小于函数式的最小值或大于函数式的最大值即可。

例1：已知f（x）为定义域为R的奇函数，当x>0时，f（x）=x4。如果f（x+t）≤4f（x）在x∈[1，16]上恒成立，则实数t的最大值为_____。

分析：解答该题目时需要利用已知条件，将函数中的“括号”去掉，而后通过分离参数法进行求解，具体解题过程为：

∵当x>0时，f（x）=x4，即，在（0，+∞）上单调递增

又∵f（x）为R上的奇函数，因此，f（x）在R上为单调递增函数。

又∵4f（x）=f（x），即，f（x+t）≤4f（x）等价于f（x+t）≤f（x）

则只要求出x+t≤x，在x∈[1，16]上恒成立即可。分离参数得t≤（-1）x

显然只要t小于等于（-1）x的最小值即可，显然当x=1时（-1）x取得最小值-1，因此，t的最大值是-1。

2.换元法解题

通过换元可将复杂的函数式化成简单的参数，不仅更加容易利用所学，而且计算的复杂度大大降低，明显提升解题效率，因此，教学实践中，教师应注重换元法的应用讲解，使学生彻底掌握，灵活应用。

例2：已知函数f（x）=4x-m·2x+1，若存在实数x0，使得f（-x0）=-f（x0）成立，则实数m的取值范围是___。

分析：解答该题时，先根据函数表达式代入实数x0，而后研究代入x0后的表达式，采用换元法最终求解。

假设存在实数x0，满足f（-x0）=-f（x0）成立则

因此，+4x0=2m（+2x0），令t=2x0（t>0），则+t2=2m（+t）令λ=+t（λ≥2），因此，2m=λ-，令g（λ）=λ-，分析得知g（λ）在[2，+∞）为增函数，则2m≥g（2）=1，因此，m≥。

3.数形结合法解题

解答高中函数试题时，借助相关图形，可直观的观察出参数之间的关系，进行简单计算便可得出正确结果，解题效率明显提高，因此，教学实践中，教师应引导学生利用数学结合法解题，使学生养成使用数形结合法解答函数试题的良好习惯。

例3：已知函数f（x）满足f（x）1=，当x∈[0，1]时，f（x）=x。若在区间（-1，1]上g（x）=f（x）-mx-2m的图像和x轴有两个交点，则m的取值范围为：____。

分析：解答该题目时，根据已知条件求解出f（x）的表达式，而后利用数形结合法，得出函数图像间的关系，经过分析便可得出结果。

∵-1

则f（x+1）=x+1，即，f（x）=-1=-1

因此，f（x）=

令g（x）=f（x）-mx-2m=0，则f（x）=mx+2m

画出如图1所示的图

由图形易知m∈（0，]。

4.结论

高中数学函数题目复杂多变，部分题目解答时需要一定的技巧，对学生的解题能力要求较高，因此，教学实践中，教师应通过讲解经典例题，使学生掌握不同题型的解题方法，掌握函数试题的解题规律，迅速找到解题思路，高效解题。

参考文献

[1]王振新.高中数学函数解题思路教学探究[J].中学课程辅导（教师通讯），2018（09）：114.

[2]孙金君.高中数学函数解题思路探究[J].数理化解题研究，2018（12）：8-9.

[3]任博洋.高中数学中函数的解题思路初探[J].考试周刊，2018（16）：84.