活跃在中学数学中的思想方法例谈

摘 要：数学思想方法在中学数学中的应用十分广泛，熟练掌握数学中的思想方法，能够有助于学生快速解题，使得问题变得简单化、直观化.

关键词：中学数学;思想方法;数形结合

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2020）34-0041-02

收稿日期：2020-09-05

作者简介：李成辉（1974.9-），男，安徽省灵璧人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

函数与方程思想就是用函数与方程的观点，处理变量与未知数之间的关系;数形结合思想即是将数和形构建相互联系的体系，进行恰当转化，求解问题.要想熟练、快速地解答此类问题，需要熟悉数学解题的三种语言，即文字语言、符号语言和图形语言.

求解数学问题中，离不开转化与化归，有时也需要对问题分类讨论才能得到需要的结论.要想对问题熟练、准确地求解，需要细读题目，弄清题意，弄清题目中设计的相关数学概念、公式及其相互间的联系，才能明白如何转化、如何讨论.

一、函数与方程思想

例1 在等差数列{an}中，已知a1=13，3a2=11a6，則数列{an}的前n项和Sn的最大值为.

解析 方法一（函数法）：由3a2=11a6，得3×（13+d）=11×（13+5d），解得d=-2，

所以an=13+（n-1）×（-2）=-2n+15.

所以Sn=n（13+15-2n）2=-n2+14n=-（n-7）2+49，

所以当n=7时，数列{an}的前n项和Sn最大，最大值为S7=49.

方法二（通项法）：由解法一可得an=-2n+15.

由an≥0，an+1≤0，得-2n+15≥0，-2（n+1）+15≤0

解得6.5≤n≤7.5.

因为n∈N*，所以当n=7时，数列{an}的前n项和Sn最大，最大值为

S7=7×（13-2×7+15）2=49.

点评 数列的通项与前n项和是自变量为整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题.常涉及最值问题或参数范围问题，解决问题的关键是利用函数的单调性来研究最值问题.

二、数形结合思想

例2 已知函数f（x）是奇函数，在（0，+∞）上是减函数，且在区间[a，b]（a<b<0）上的值域为[-3，4]，则在区间[-b，-a]上（  ）.

图1

A.有最大值4

B.有最小值-4

C.有最大值-3D.有最小值-3

解析  方法一：根据题意作出y=f（x）的简图，由图知，选B.

方法二：当x∈[-b，-a]时，-x∈[a，b]，

由题意得f（b）≤f（-x）≤f（a），即-3≤-f（x）≤4，

∴-4≤f（x）≤3，即在区间[-b，-a]上，f（x）min=-4，f（x）max=3.

故选B.

点评 函数最值问题是高考试题中常见的一类考题，此类考题的求解方法常结合函数图象进行解决，利用数形结合思想解决数学问题，有助于使问题更加直观化.

三、分类讨论思想

例3 已知函数f（x）=3-2log2x，g（x）=log2x.

（1）当x∈[1，4]时，求函数h（x）=（f（x）+1）·g（x）的值域;

（2）如果对任意的x∈[1，4]，不等式f（x2）·f（x）>k·g（x）恒成立，求实数k的取值范围.

解析 （1）h（x）=（4-2log2x）·log2x=-2（log2x-1）2+2.

因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，

故函数h（x）的值域为[0，2].

（2）由f（x2）·f（x）>k·g（x），得

（3-4log2x）（3-log2x）>k·log2x，

令t=log2x，因为x∈[1，4]，

所以t=log2x∈[0，2]，

所以（3-4t）（3-t）>k·t对一切t∈[0，2]恒成立，

①当t=0时，k∈R;

②当t∈（0，2]时，k<（3-4t）（3-t）t恒成立，即k<4t+9t-15，因为4t+

9t≥12，当且仅当4t=9t，即t=32时取等号，所以4t+9t-15的最小值为-3，从而k<-3.

综上，实数k的取值范围为（-∞，-3）.

点评 分类讨论思想的运用，在高中数学中的体现是十分明显的，我们要清楚产生分类讨论的具体缘由，这样才能在分类讨论时做到不重复也不遗漏.

四、转化与化归思想

例4  （2019·江西南昌二模）如图2，有一块半径为20米，圆心角∠AOB=2π3的扇形展示台，该展示台被分成了四个区域：三角形OCD，弓形CMD，扇形AOC和扇形BOD（其中∠AOC=∠BOD）.某次菊花展分别在这四个区域摆放：泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜，预计这三种菊花展示带来的日效益分别是： 50元/m2，30元/m2，40元/m2.为使预计日总效益最大，∠COD的余弦值应等于.

图2

解析 设∠AOC=∠BOD=α，则∠COD=2π3-2α，且易知0<α<π3.

结合图形及题意可知，日总效益f（α）=12×

202sin（2π3-2α）×50+2×12×202α×40+30[12×202（2π3-2α）-12×202sin（2π3-2α）]=4000sin（2π3-2α）+4000α+400π.

求导得f ′（α）=4000-8000cos（2π3-2α），所以令f ′（α）>0，结合0<α<π3，可解得0<α<π6;令f ′（α）<0，結合0<α<π3，可解得π6<α<π3.

于是，函数f（α）在（0，π6）上单调递增，在（π6，π3）上单调递减.

从而，当α=π6时，f（α）取得最大值.

故所求∠COD的余弦值等于cos（2π3-2×π6）=12.

点评 本题需要先结合图形引入辅助角，以便根据题意建立日总效益的函数关系式，然后通过求导分析并运用其单调性，即可顺利求解目标问题.

分类讨论问题主要涉及：由数学概念引起的分类讨论;由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论;由数学运算要求引起的分类讨论;由图形的不确定性引起的分类讨论;由参数的变化引起的分类讨论.

转化与化归问题主要有：直接转化法;换元法;数形结合法;等价转化法.

高考题中考查函数与方程思想、数形结合思想的题目较多，选择题、填空题和解答题中都有.

函数与方程的思想在解题中的应用十分广泛，如：函数与不等式的相互转化;数列的通项与前n项和;解析几何问题;立体几何中与线段、角、面积、体积的计算问题.

数形结合思想解决的问题常有：构建函数模型并结合其图象求解相关问题;构建立体几何模型研究代数问题;构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题;构建方程模型，求根的个数;研究图形的形状、位置关系、性质;等等.

参考文献：

[1]陈国林，寇桂宴.例说巧用数学思想解决圆锥曲线综合问题[J].数理化解题研究，2016（31）：8-9.

[2]陈国林.例说数学思想在等差数列中的应用[J].中学生数理化（高二高三版），2016（10）：12-13.

[责任编辑：李 璟]