解答有关直线被圆截得弦长问题的常用办法

王静静

在直线与圆相交的问题中，经常出现求直线被圆截得弦长的问题.解答有关直线被圆截得弦长问题的方法有几何法和代数法.下面我们一起来探讨一下.

一、几何法

解答有关直线被圆截得弦长问题的几何法是，根据圆的几何性质，可知圆心距垂直于弦，从而构造直角三角形，然后利用点到圆心的距离公式求出圆心距，利用勾股定理建立关系式：[l22=r2-d2]（其中圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l），从而求出弦长.

例1.求过点M（-3，3）且被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为8的直线方程.

分析：由已知条件和圆的几何性质，我们可先求出圆心距[d]，再求直线方程.

解：圆的方程x2+y2+4y-21=0可化为x2+（y+2）2=25，则圆的半径为R=5，圆心为（0， -2）.

当所求直线斜率不存在时，直线方程为x=-3，满足已知条件.

当所求直线斜率存在时，设斜率为k，则可设直线方程为kx-y+3k+3=0. 如图1，设直线与圆交于[A，B]两点，弦[AB]的中点为[M]，由圆的几何性质可知[OM⊥AB]（[O]为坐标原点），[AB=2AM=2OA2-OM2=8].

又圆心（0，-2）到直线的距离[OM=|0+2+3k+3|k2+1=R2-42=3]， 则[k=-815].

所以直线方程为8x+15y-21=0.

综上所述，所求的直线方程为[x=-3]或[8x+15y-21=0].

解答本题的关键是求直线被圆截得的弦长.由上题，我们可以看出，在解答有关直线被圆截得弦长问题时，利用圆的几何性质往往可以减少计算量.在解答本题时，我们要注意所求直线的斜率是否存在，否则会“漏解”.

二、代数法

求直线被圆截得的弦长的代数方法是：将直线与圆的方程联立成方程组，消去x或者y得出一个关于x或者y的一元二次方程，然后利用韦达定理，建立关系，设斜率为k（k≠0）的直线与圆相交于A，B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|=[1+k2|x1-x2|=1+k2·（x1+x2）2-4x1x2=1+1k2·|y1-y2|=1+1k2·（y1+y2）2-4y1y2]，将方程中两个根的和与积代入上式即可求出弦长.

当直线与圆的交点坐标容易求解时，我们可以直接通过解直线方程与圆方程所组成的方程组，得出交点的坐标，然后利用两点间的距离公式来得出弦长.

例2.已知AC，BD为圆O：x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，[2]），求四边形ABCD的面积的最大值.

分析：由于AC与BD互相垂直，所以四边形ABCD的面积等于|AC|·|BD|，AC与BD是已知圆的弦，故需要首先将弦长表示出来.

解：如图2，取AC的中点F，BD的中点E，则OE⊥BD，OF⊥AC.

又∵AC⊥BD，

∴四边形OEMF为矩形，

∴[d21+d22=OM2=3].

又|AC|=2[4-d21]，

|BD|=2[4-d22]，

∴S四边形ABCD=|AC|·|BD|=2[4-d21]·[4-d22]

=2[-（d22-32）2+254].

∵0≤[d22]≤3.

∴当[d22]=[32]时，S四边形ABCD有最大值为5.

该解法首先利用圆的几何性质，根据弦心距、弦长的一半以及半径之间的关系将弦长表示出来，然后将原问题转化为函数的最值问题来使问题顺利获解.

在解答有关直线被圆截得弦長的问题时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，我们一般用几何法;若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较繁琐或不易得出，我们一般用代数法。值得注意的是，在解答此类问题时，要优先选择几何法，然后再考虑代数法.

（作者单位：山东省聊城市东阿县实验高中）