立体几何证明中辅助线的添加策略

立体几何证明是高中数学教学中的一项重要内容，而高一是学生学习立体几何的初学阶段，对于立体几何的证明题学生理解起来往往比较困难，这严重制约了学生的学习积极性。而在证明过程中往往需要添加辅助线。询问过相关同学对辅助线添加方法不能理解，为什么？学生回答主要如下：

（1）做题太少，接触到的作辅助线方法太少;（2）有些立体几何图形太过復杂，对于辅助线的添加无从下手;（有的同学空间立体感太差，根本看不出是立体的图形）;（3）找不出问题与条件之间的内在联系，不能很好的利用条件;（4）基础知识掌握的不扎实，不能将所学内容联系起来;（5）逻辑性不强，不能利用题目的条件作出辅助线。

辅助线是立体几何问题求解过程中的重要方法，所以有人说：“得辅助线者得天下。”此话说的虽然有点过头，但学会添加辅助线确实是我们快速解立体几何证明的关键。在常见立体几何问题中，辅助线的添加往往遵循着一些原则，那么辅助线该如何添加呢？这里我先来段顺口溜“有了中点配中点，两点连线中位线;等腰三角形出现，顶底中点相连线;有了垂面作垂线，水到渠成理当然，分数必成囊中物。”然后结合口决来研究几道题。

一、添加平行线策略

把不在一起的线集中到一个图形中，构造三角形、梯形中位线，平行四边形、矩形、菱形的对边等，通过图形性质就可以得到所需的平行关系。

例1、如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.

（1）求证：BE//面DMF;（2）求证：平面BDE//面MNG.

分析：要证明此题，必须添加辅助线，根据题中条件M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，则可考虑利用“有了中点配中点，两点连线中位线”的辅助线作法。

证明：（1）连接AE交DE于点O，∵四边形ADEF是平行四边形∴O为AE的中点

在△ABE中O，M分别为边AE，AB的中点∴OM//BE

又面DMF，面DMF∴BE//面DMF。

（2）在△ABD中M，N分别为边AB，AD的中点

在平行四边形ADEF中G，N分别为边EF，AD的中点

又∴平面BDE//面MNG。

二、添加垂线的策略

立体几何中的许多定理是与垂线有关的，如线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理正棱柱、正棱锥的性质，球的性质等，所以运用这些定义或定理，就需要把没有的垂线补上。尤其要注意平面的垂线，因为有了平面的垂线，才能得到线线垂直。

例2、如图，棱柱底面是等腰直角三角形的直棱柱，，D是C1的中点，AA1=AC.求证：平面AB1D⊥平面AB1B。

分析：要证明平面垂直平面，则应转化为线面垂直，即在其中一个平面内找一条直线垂直

于另一个平面。注意到题设中直棱柱的底面是等腰三角形，因而可考虑利用“等腰三角形出现，作底边的中点”来添加适当的辅助线。

证明：取边AB，AB1中点E，G，连接EG，DG

又为直棱柱，∴面ABC⊥面AA1B1B

∵面面AA1B1B=AB面AA1B1B，

∵E，G为边AB，AB1中点，

又所以四边形CEGD为平行四边形

∴，则面，又面∴平面⊥平面。

三、对称中心图形的添线策略

当遇到对称几何图形的问题时，如球、正三棱锥、正方体、圆、正三角形、平行四边形等，根据题意可以把对称几何体或几何的外心、内心、垂心、重心和所求问题涉及的点线面连接起来，然后利用几何体或截面的性质解决问题。例如平行四边形连对角线，圆的问题向圆心连线，球的问题向球心连线等使问题易解。

例3、正四棱锥P-ABCD的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一个球面上，求此球的体积。

分析：求正四棱柱外接球的体积，需要求出外接球的半径，先找球心，知球心必在四棱锥的高上，取对角线AC，BD交点O'（即小圆圆心），球心在PO'上

解：连接AC，BD交点O'，则O'为正方形ABCD外接圆圆心

所以圆心O∈PO'，延长PO'交球于N，则△PAN为直角三角形

由射影定理可知

所以PN=2，即2R=2，V球。

总结：立体几何作辅助线问题，看到求证想定理，看到结论想性质，定义、定理是打开解题思路的关键，也是引入辅助线的基础，所以运用这些定义、定理或性质时，就需要把没有的线补上，尤其要注意平面垂线。对于复杂的几何体，分割成若干个常见的几何体求解，对于抽象的几何体则补全为常规的几何体求解，即“中点琢磨中位线，定理、性质凑条件;复杂抽象熟体化，切割添补是利器，有了垂面作垂线，对称体面中心连。”作辅助线的目的就是一些分离的条件通过添加辅助线联系起来，集中在一个图形中构造出三角形、平行四边形、矩形、菱形或者利用三角形、梯形中位线来作出需要的平行线等，这样可以通过解三角形等求得要求的量，将立体几何问题转化为平面问题来解决。

作者简介：王广娜（1975.5-），山东省乳山市人，女，汉族，中学一级教师，主要研究方向，课堂教学研究与学生思想工作