高中数学解题方法及技巧探究

马长青

摘 要：新课改视域下，高中数学教师重视培养学生思考能力和解题能力，这对高中生全面发展、数学教学工作优质开展有积极影响.现下，高中数学知识点较复杂，这在一定程度上对数学解题技巧及方法提出了较高要求.要想准确、快速求解，并获得理想的数学成绩，应深入探究数学解题技巧及实用性方法.希望该论题能为高中数学教师在解题方面提供思路，进而实现个性化人才培养、素质教育改革深化的目标.

关键词：高中;数学;解题方法;解题技巧

高中数学学科的理论性较强，对于高中生来讲，应不断提升自身逻辑思维能力，以便灵活解答各类题型，进而顺利完成高中阶段教与学目标.要想真正锻炼数学综合能力，结合数学学习实际探索解题方法及技巧是极为必要的.下面笔者结合相关理论及数学实例予以探究，探究内容如下.

一、高中数学题难点分析

受应试教育理念影响，高中师生的独立思考能力逐渐弱化.然而，数学题的出题思维日益新颖化，对于解题者来说，应灵活运用数学知识点，并结合自身情况，探索适合的解题技巧.下文从学生角度和教师角度分析数学难题.

1.学生方面

部分高中生运用初中阶段的定势思维来解答问题，实则，问题解答环节存在重重阻力，长此以往，只有极个别高中生能够迎难而上，这对学生解题自信心树立、解题效率提高有不利影响.究其原因，初、高中数学的解题思维存在差异，相对来说，高中数学题的解答注重知识点的综合运用，且答题者的灵活思维能力被提出了较高要求.若高中生未能意识到这一点，极易遇到解题阻力.

2.教师方面

高中教师以集体授课方式传授数学知识，实际教学中，教师既要备学情，又要备教材，加之，高中教学时间紧凑、教学任务繁重，大多数教师为完成上级规定的教学任务，往往以题海战术的方式锻炼学生答题能力.殊不知，这对数学教师教学能力提升、钻研意识培养有不利影响，最为关键的是，数学教师的审题水平及引导能力会逐渐降低.

二、高中数学审题技巧

数学题解答的前提，是认真审题，基于审题环节获知显性条件和隐性条件，这在一定程度上影响解题速度和求解准确性.下文通过理论与实例结合的方式分析审题技巧，以便为高中生提供思路.

1.题干条件分析

题干信息内容为数学题解答提供方向，要想顺利完成解题目标，解题主体应全面掌握已知条件、细致分析潜在条件，必要情况下，通过条件转换来简化解题程序，进而在短时间内准确求解.

例如，已知m2+（t-2）m+t-1=0的两个根为m1和m2，而点M（m1，m2）在圆m2+q2=4上，求t值.

题干分析 阅读题干获知已知信息，因M在圆m2+q2=4上，意味着M坐标适用于圆m2+q2=4这一方程;m1和m2为方程两个根，言外之意，m21+（t-2）m1+t-1=0，m22+（t-2）m2+t-1=0.基于显性条件无法求解，要想实现求解目标，应深层次挖掘隐性条件.

2.关联性分析

纵使获知题干显性条件，但求解过程仍存在一定阻力，在此期间，应针对已知条件和求解目标关联式分析，以期获得解题关键点.需注意的是，解题主体应具备推理意识和反思意识，同时，借助草图勾勒、运算分析等方法探索解题突破口，使复杂问题简单化.

仍以上述例题为例，已知m2+（t-2）m+t-1=0为一元二次方程式，关联式分析时，引入抛物线f（m）=m2+（t-2）m+t-1，方程两根m1、m2即抛物线与横轴交点，分别为（m1，0）和（m2，0）.基于抛物线的性质，（m1，0）和（m2，0）呈轴对称分布，获知m1+m2=2-t，基于上述已知条件，能够顺势求解.

3.梳理解题思路

数学题解答的过程中，高中生应分析题干条件、求解目标等内容间的联系，实则，即数学定理、定义、性质在其中灵活运用的过程.对此，应梳理解题思路，将理论内容与求解要素相匹配，以便实现多条件求解目标.

如上述例题所示，在解题思路的正确引导下，逐步获知m21+（t-2）m1+t-1=0、m22+（t-2）m2+t-1=0、m1+m2=2-t等条件，最后通过三元二次方程组求得t值.

同一数学题的解题方法有多种，但解题的前提，即掌握审题技巧，这能为后期数学题顺利解答助力.下文详尽分析数学题解答的有效方法，希望能为高中生提供帮助.

三、高中数学解题方法

1.转化法

转化法又被称为转换法，通过转变数学思维、拓展题干分析思路来获知解题对策.该方法实践的过程，即复杂知识点简单化、抽象知识点具体化的过程.对于解题主体——高中生来说，能够树立解题自信心，并从中感受解题乐趣，最终数学题能够顺利解答.

例如，函数H=Bx2-x-B（B>0，B≠1）有两个零点，求B取值范围.

解析 数学解题思想转变后，可知解题切入点为零点定义、区间、意义等.应用转化法将这一函数分解成两个函数，即H=Bx2（B>0，B≠1）;H=x+B.画图可知，两函数的交点数量为一个，对应的区间即01，这符合题干立意.

又如，3m+4n+P=0和（m=1+cosθ，n=-2+sinθ），二者无公共点，求参数P取值范围.

解析 根据题干信息进行问题转换，即4sinθ+3cosθ=5-P，由于直线与圆无交點，且15≤4sinθ+3cosθ≤5，求得，P>10或P<0.

2.反证法

反证法在数学题解答中较常用，即在逆向思维的辅助下推理式分析，最终证实结论与数学定理、定义相背离，间接得知原始命题的合理性.对于大多数学生来说，惯用正向思维来求解，实际上，正向推理分析法并不适用于所有数学题的求解，相反，反向推理分析法能够挖掘潜条件，进而实现求解目的.

例如，某高校二年级630人，针对每位学生的课余时间利用情况调查分析，通过抽取年级段30%学生予以调查.其中，显性条件即年级人数和百分比，得知，调查学生数量为189人.若命题不成立，需假设推理，直到获知与原题存在出入之处，凭借对比依据来求解.

又如，已知A≠0，证方程Ax=B仅一个根.

解析 应用反证法对其阐述，假设Ax+B=0（A≠0）根数量最少为两个，设根分别为P和Q，且P≠Q，故而，AP=B，AQ=B，AP=AQ，即A（P-Q）=0.由于P≠Q，意味着P-Q≠0，等式成立的前提条件，即A=0，这与题干A≠0这一条件相矛盾，即假设不成立，因此，Ax=B仅一个根.

3.换元法

高中数学题多以整式形式呈现，如果学生仅从整式入手，这不仅会浪费解题时间，且求解结果的准确性得不到保证.解答此类数学题时，运用换元法来求解是极为必要的，即通过变量替换来整合表达式，最后通过求解替换变量来实现解题目标.

例如，实数m、n满足4x2-5xy+4y2=5，设K=x2+y2，求代数式1Kmax+1Kmin的值.

解析 为实现整式优化目的，凭借换元法完成K=x2+y2的替换.在此期间，运用三角函数知识辅助求解，因sin2a+cos2a=1，将其替换题干x值和y值，最后通过整式代入求得x=ksina，y=kcosa，最后代入4x2-5xy+4y2=5這一方程，根据三角函数值域-1，1求值.

换元法的解题实用性较强，对此，高中生应掌握换元法应用技巧，以此提高解题效率.这对日后数学知识学习和习题解答能够起到基础铺垫作用，最终保证求解准确性和全面性.

4.讨论法

讨论法在数学题解答中较常用，这一方法应用的过程，即高中生思维能力锻炼、全局意识培养的过程.分类讨论法应用期间，遵循对象确定→拟定分类标准→讨论分析→获知讨论结果.

例如，假设集合M={a∈P|a2+4a=0}，集合N={a∈P|a2+2（t+1）a+t2-1=0，t∈P}，若集合N包含于集合M，求实数t的范围.

解析 已知集合M={0，-4}，且集合N包含于集合M，情况一，当M=N时，N={0，-4}，即-2（t+1）=-4，t2-1=0，得出t=1.当N≠M时，N同样分为两种情况，分析如下：

当N=时，Δ=4（t+1）2-4（t2-1）<0，得出t<-1.

当N≠时，即N={0}或者是N={-4}.

当a=0时，t=±1，而当a=-4时，t=7或者是t=1，由于Δ=4（t+1）2-4（t2-1）=0，故而，t=-1.

可知，实数t的取值范围是t=1或者t≤-1.

5.特值法

特值法用于解答高中数学题，既能节省大量的解题时间，又能全面把控求解误差.下文进行实例分析，以期了解特值法的应用价值.

例如，等差数列{an}，它的前m项之和等于30，前2m项之和等于100，求前3m项之和.

解析 假设m=1，等差数列的前m项之和、前2m项之和分别为S1=30，S2=100.第一段P1=S1=30，第二段P2=S2-S1=70，段公差D=P2-P1=40，则第三段P3=P2+D=110.那么前3m项之和等于P1+P2+P3=30+70+110=210.

6.排除法

应用排除法进行数学题求解时，往往通过选项排除的方式来寻找正确答案，可见，该方法在选择题型中较常用.

例如，不等式mn2+2mn-4<2n2+4n恒成立，则m的范围是（）.

解析 当m=2时，则-4<0，这与题目立意一致，故而，A选项和B选项排除.当m=-2时，则（m+1）2≥0，不恒成立，此时排除选项C，最终正确答案为D.

综上所述，高中数学题解答的过程中，应掌握审题技巧，并合理运用解题方法，这既能提高解题效率，又能保证求解的准确性.可见，本文通过理论与实例结合的方式进行论题探究，这能为数学教学者以及高中生提供参考，确保数学解题任务顺利完成.

参考文献：

[1]孙家正.关于高中数学函数解题思路多元化的方法举例探索[J].中国新通信，2017，19（02）：135.

[2]夏小又.浅议化归思想在高中数学解题中的运用[J].读与写（教育教学刊），2017（1）：128.

[3]张美玲.高中数学解题方法及技巧探究[J].学周刊，2017（2）：151-152.

[4]王坤.例谈基于问题解决的高中数学复习[J].数学通报，2017，56（7）：46-49.

[5]李清，王菡.元认知策略、解题策略对不同层次学生数学问题解决影响的实证研究[J].教育理论与实践，2017，634（35）：41-43.

[责任编辑：李 璟]