圆的两类常见辅助线

于宗英

圆是中考数学常考内容之一. 在解决关于圆的问题时，有些数量关系隐晦，求解比较困难，这时添加适当的辅助线，可将问题化隐为显、化难为易，进而巧妙地解决. 下面一起学习圆的两类常见辅助线.

一、求弦长时，常连接半径，作弦的垂线

例1（2019·四川·阿坝）如图1，在半径为5的[⊙O]中，[M]为弦[AB]的中点，若[OM=4]，则[AB]的长为     .

分析：连接[OA]，根据垂径定理得到[OM⊥AB]，然后根据勾股定理求出[AM]，得到答案.

解：如图1，连接[OA]，

∵M为弦[AB]的中点，∴[OM⊥AB]，

∴[AM=OA2-OM2=52-42=3]，

∴[AB=2AM=6]，

故填6.

點评：求弦长时，常常借助垂径定理及推论，构造直角三角形，利用勾股定理进行解题.

二、见直径，构直角;见切点，构直角

例2（2019·北京）如图2，四边形ABCD为菱形，以[AD]为直径作[⊙O]交[AB]于点[F]，连接[DB]交[⊙O]于点[H]，[E]是[BC]上的一点，且[BE=BF]，连接[DE].

（1）求证：[DE]是[⊙O]的切线.

（2）若[BF=2]，[DH=5]，求[⊙O]的半径.

分析：（1）连接DF，如图3，证明[△DAF] ≌[△DCE]，可得[∠DFA=∠DEC]，证出[∠ADE=∠DEC=90°]，即[OD⊥DE]，可得[DE]是[⊙O]的切线.

（2）连接[AH]，求出[DB=2DH=25]，在[Rt△ADF]和[Rt△BDF]中，可得[AD2-（AD-BF）2=DB2-BF2]，解方程可求出[AD]的长.

解：（1）证明：如图3，连接[DF]，

∵四边形[ABCD]为菱形，

∴[AB=BC=CD=DA]，[AD][⫽][BC]，[∠DAB=∠C]，

∵[BF=BE]，∴[AB-BF=BC-BE]，即[AF=CE]，

∴[△DAF] ≌[△DCE]（[SAS]），

∴[∠DFA= ][∠DEC]，

∵[AD]是[⊙O]的直径，

∴[∠DFA=90°]，∴[∠DEC=90°]，

∵[AD][⫽][BC]，∴[∠ADE=∠DEC=90°]，

∴[OD⊥DE]，

∵[OD]是[⊙O]的半径，∴[DE]是[⊙O]的切线.

（2）如图3，连接[AH]，

∵[AD]是[⊙O]的直径，

∴[∠AHD=∠DFA=90°]，∴[∠DFB=90°]，

∵[AD=AB]，[DH=5]，∴[DB=2DH=25]，

在[Rt△ADF]和[Rt△BDF]中，

∵[DF2=AD2-AF2]，[DF2=DB2-BF2]，

∴[AD2-AF2=DB2-BF2]，

∴[AD2-（AD-BF）2=DB2-BF2]，

[∴][AD2-（AD-2）2=（25）2-22]，∴[AD=5].

∴[⊙O]的半径为[52].

点评：解答本题的关键是根据直径找出图中隐含的直角.

（2019·四川·资阳）如图4，[AC]是[⊙O]的直径，[PA]切[⊙O]于点[A]，[PB]切[⊙O]于点[B]，且[∠APB=60°].

（1）求[∠BAC]的度数;

（2）若[PA=1]，求点[O]到弦[AB]的距离.

提示：（1）由切线的性质得出[PA=PB]，[∠PAC=90°]，证出[△APB]是等边三角形，得出[∠BAP=60°]，即可得出[∠BAC] = 30°;

（2）作[OD⊥AB]于[D]，由垂径定理得出[AD=BD=12AB]，由等边三角形的性质得出[AB=PA=1]，[AD=12]，由含30°角的直角三角形的性质及勾股定理得出[AD=3OD]，可求出[OD=36].