圆易错点剖析

鲜应全

一、对基本概念理解不深

例1 有下列结论：①平分弦的直径垂直于弦;②圆周角的度数等于圆心角的一半;③等弧所对的圆周角相等;④直径不是弦;⑤顶点在圆周上的角是圆周角. 其中正确的说法有（ ）.

A. 1个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

解析：只有③正确，故选A.

易错点剖析：（1）垂径定理中，忽略被平分的弦不能是直径;（2）忽略只有在同圆或等圆中，圆周角的度数才等于相应圆心角的一半;（3）忽略直径是圆中一条特殊弦;（4）圆周角的定义中，忽略角的两边与圆相交.

跟踪练习1 下列命题：①顶点在圆周上的角是圆周角;②圆周角的度数等于圆心角度数的一半;③90°的圆周角所对的弦是直径;④同弧所对的圆周角相等. 正确的是（ ）.

A. ①③ B. ③④ C. ①②③④ D. ②④

答案：B.

二、混淆圓锥的半径与圆的半径

例2 用一直径为10 cm的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽可以制成一个不倒翁玩具，不倒翁的轴剖面图如图1所示，圆锥的母线AB与⊙O相切于点B，不倒翁的顶点A到桌面的最大距离是18 cm. 若将圆锥形纸帽的表面全涂上颜色，则需要涂色部分的面积约为 cm2.（精确到1cm2）

解析：利用勾股定理可求得圆锥的母线长，进而过B作出垂线，得到圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积 = 底面周长 × 母线长 ÷ 2进行计算.

直径为10 cm的玻璃球，半径OB = 5 cm，所以AO = 18 - 5 = 13（cm），

由勾股定理得，AB = 12 cm，

∵BD × AO = AB × BO，∴BD = [AB×BOAO] = [6013]（cm）.

圆锥底面周长 = 2 × [6013]π（cm），

圆锥侧面积 = [12] × 2 × [6013]π × 12 = [72013]π ≈ 174（cm2）.

故填174.

易错点剖析：此类问题易犯的错误为，将圆锥的半径与底面圆的半径相混淆.

跟踪练习2 已知直角三角形的两直角边长分别为4 cm、3 cm，将该直角三角形以较短直角边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体的全面积是（ ）.

A. 9π cm2 B. 16π cm2 C. 20π cm2 D. 36π cm2

答案：D.

三、不注意分类讨论

例3 如果点O为△ABC的外心，∠BOC = 70°，那么∠BAC等于（ ）.

A. 35° B. 110° C. 145° D. 35°或145°

解析：此题分两种情况：

根据圆周角定理，（1）如图3①，当点O在三角形的内部时，则∠BAC = [12]∠BOC = 35°;

（2）如图3②，当点O在三角形的外部时，则∠BAC = [12] × （360° - 70°） = 145°.

故选D.

易错点剖析：（1）误认为三角形的外心与内心一样，只能在三角形内部;（2）与圆有关的位置问题，忽视分类讨论.

跟踪练习3 已知⊙O1和⊙O2相切，⊙O1的直径为9 cm，⊙O2的直径为4 cm. 则O1O2的长是（ ）.

A. 5 cm或13 cm B. 2.5 cm

C. 6.5 cm D. 2.5 cm或6.5 cm

答案：D.

（作者单位：甘肃省定西市陇西县宝凤初级中学）