“正方形半角”模型在中考压轴题中的应用

张杰

【数学模型】如图1，若在正方形ABCD中，E、F分别在AD、CD上，且∠EBF=45°。则有如下结论：

（1）EF=AE+CF;

（2）△EDF的周长=AD+CD=正方形周长的一半。

【解析】如图2，利用截长补短法，延长DC到G，使CG=AE，可以证明△ABE≌△CBG，所以BE=BG，∠ABE=∠CBG。因为∠EBF=45°，所以∠GBF=45°，所以∠EBF=∠GBF，所以△EBF≌△GBF，从而证明EF=FG=FC+CG=FC+AE，△EDF的周长=AD+CD=正方形周长的一半。

【点评】在中考压轴题中，特别是动态几何问题中，如果出现正方形中存在45°的三角形时，我们可以加以应用。命题者通常会把点E、F作为两边的动点，产生的Rt△EDF的边长改变，面积也会改变，但周长不变，图形在运动过程中就存在着变量与不变量，这也是最近几年压轴题的一个非常显著的特点。

（2019·江苏徐州）如图3，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上。△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y=9x的图像上。PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD。

（1）求∠P的度数及点P的坐标;

（2）求△OCD的面积;

（3）△AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积;若不存在，请说明理由。

【解析】（1）如图4，过点P分别作PE、PF、PN垂直于y轴、x轴、AB，垂足分别为E、F、N，容易求出P点坐标为（3，3），∠APB的度数为45°。

（2）（解法1）如图5，连接OP，

∵∠APB=45°，∠POF=45°。

∴∠PCO=∠DPO，且∠POC=∠DOP=135°，

∴△PCO∽△DPO，

即CO·DO=PO2=（3

∴△COD的面积=9。

（解法2）设OA=a，OB=b，则AE=3-a，BF=3-b。根据正方形中45°三角形模型得AB=AE+BF，∴AB=6-a-b。

∵AB2=OA2+OB2，

【点评】解法1的巧妙在于利用相似关系求出CO与DO的乘积，技巧性比较强。但考试的时候，我们在很短的时间内难以想出这个思路。

解法2考虑到OA、OB长度可以改变，这样OC与OD的长度也会改变，△COD的形状随之发生改变，但面积是否改变要看OC与OD的乘积。我们通过把OC、OD用OA、OB表示，运用代数式的变形求出结果。利用“正方形半角”模型得AB=EA+FB，结合勾股定理构建相等关系是解决问题的关键。这样的思路比较简单，容易上手，好突破，也能为同学们高中的学习打下基础。

【解析】（3）（解法1）这里从“正方形半角”模型更容易入手。此问就转化成这样一个数学问题，当Rt△AOB的周长为一定值时，求它的面积的最大值。根据经验，我们猜想这个直角三角形为等腰直角三角形时面积最大。

如图6，过点P分别作PE、PF、PN垂直于y轴、x轴、AB，垂足分别为E、F、N。设OA=a，OB=b，

则AN=AE=3-a，BN=BF=3-b，∴AB=6-a-b，∴OA+OB+AB=6，

∴a+b+a2+b2=6，

∴2ab+2ab≤6，∴（2+2）ab≤6，

∴ab≤3（2-2），∴ab≤54-362，

∴S△AOB=12ab≤27-182，

∴△AOB的面積的最大值为27-182。（解法2）如图7，取AB的中点M，连接PM、OM，根据三角形三边的关系知OM≥OP-PM=32-PM。因为点P在△AOB的外角平分线上，点P到AB的距离为3，

PM的最小值为3，所以OM≥32-3，此时

AB≥62-6。因为S△AOB=S正方形PEOF-S△ABP-

S△APE-S△BPF，根据“正方形内45°三角形”

模型AB=AE+BF，且点P到AB的距离为

3，可以证明S△ABP=S△APE+S△BPF。所以S△AOB1

=S正方形PEOF-2S△ABP=9-2×2×AB×3=9-3AB，所以当AB=62-6时，S△AOB的面积有最大值，最大值为9-3（62-6）=27-182。

【点评】解法2是从几何角度先得到AB的取值范围，再利用“正方形半角”模型得到三角形之间的面积关系，最后根据函数关系求出答案。

在今后的解题过程中，同学们如果能从一些数学模型的角度去思考问题，便易于找到解决问题的突破口，降低解题的难度。实际上许多复杂的问题都可以看成是由一些简单数学模型组合变化形成的。在今后的学习过程中，希望同学们对一些常见数学模型加以总结、积累和应用，这样你们解题能力会不断提高。

（作者单位：江苏省镇江市宝堰中学）